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Analytische Mechanik
Bernhard Schnizer
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Doz. W. Bulla hat hierfür eine erste Version vorbereitet. Eine große Anzahl von Zeichnungen und Simulationen wurden von F. Michl und Ch. Sommer angefertigt.
27. Januar 2003
Inhalt
Einleitung
Die Vorgangsweise der Theoretischen Physik
Ziele der Mechanik
Vorgangsweise der Mechanik
Mittel der Beschreibung für mechanische Ereignisse
Kinematik des Massenpunktes
Beschreibung der Bahn
Lage
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Einige Begriffe aus der Differentialgeometrie
Bogenlänge
Tangenten- und Normalenvektor
Krümmung, Krümmungsradius
Dynamik des Massenpunktes
Aufstellung des Kraftgesetzes in Inertialsystemen
Gesetz der vektoriellen Addition der Kräfte
Existenz der Lösungen der Newtonschen Bewegungsgleichungen
Einige Beispiele
Freier Fall im Schwerefeld der Erde
Senktechter Wurf im Schwerefeld der Erde
Bewegung eines geladenen Teilchens in einem homogenen Magnetfeld
Das mathematische Pendel
Die Integrale der Kraft. Erhaltungssätze und -größen.
Impuls (Bewegungsgröße)
Energie und Arbeit
Konservative Systeme. Potential
Elektrostatisches Feld:
Schwerefeld:
Gesamtenergie und deren Erhaltung
Bewegung eines Teilchens der Masse m und der Ladung e in einem Plattenkondensator, an dem die Spannung
liegt:
Wirbelpunkt oder Wirbelfaden
Drehimpuls und Drehmoment
Integrale der Bewegung
Der Phasenraum
Schwingungen. Oszillatoren
Eindimensionale Bewegung
Lineare Kraft. Harmonischer Oszillator
Berechnung der Gesamtenergie
Das Phasenraumdiagramm
Anharmonische Schwingung
Harmonischer Oszillator mit Dämpfung
Gedämpfte Schwingung
Aperiodische Bewegung
Grenzfall
Harmonischer Oszillator mit zusätzlicher zeitabhängiger Kraft. Erzwungene Schwingung. Resonanz.
Zwei Freiheitsgrade. Bewegung in zwei Raumrichtungen
Linearer Oszillator
Isotroper Oszillator
Integrale der Bewegung
Anisotroper harmonischer Oszillator
Das Verhältnis der Frequenzen ist rational.
Das Verhältnis der Frequenzen ist nicht rational.
Poincaré-Abbildung
Das Hénon-Heiles-System. Geordnete und chaotische Bewegung
Zentralkräfte
Allgemeine Lösung des Zentralproblems mittels der Erhaltungssätze
Die Keplerbewegung
Bewegung auf einer Geraden durch das Kraftzentrum
Bewegung auf Kegelschnitten um das Kraftzentrum
Keplersche Gesetze
Rutherfordstreuung
Der Satz von Gauß
Streuung an einem fixen Zentrum und Wirkungsquerschnitt
Der Wirkungsquerschnitt
Rutherfordstreuung
Eingeschränkte Bewegung. Zwangskräfte. Integrable nichtlineare Schwingung
Ableitung der Bewegungsgleichungen. Zwangskräfte
Projektion der Kraft auf eine Zwangskurve
Das Zykloidenpendel
Das sphärische und das ebene Pendel
Aufstellung der Bewegungsgleichungen. Unterscheidung der verschiedenen Bewegungstypen mittels Drehimpuls- und Energiesatz
Lineare Näherung für kleine Schwingungen
Strenge Lösung der Bewegungsgleichungen mittels elliptischer Integrale
a) Ebene Bewegung (mathematisches Pendel):
.
Systeme von Massenpunkten
Die Kräfte und die Bewegungsgleichungen
Erhaltungssätze für Massenpunktsysteme
Gesamtimpuls und Schwerpunkt
Gesamtdrehimpuls
Energiesatz
Das Zweikörperproblem
Elastischer Stoß zweier Massen
Der Stoß auf ein ruhendes Target
Der Stoß zweier glatter Kugeln
Das Zweikörperproblem mit Wechselwirkung
Bewegte Bezugssysteme
Inertialsysteme
Raumfestes und körperfestes Bezugssystem
Die Eulerschen Winkel
Die Bewegungsgleichungen in beschleunigten Bezugssystemen
Behandlung des rotierenden KS in der symbolischen Schreibweise
Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Bewegungsgleichung im beschleunigten Bezugssystem
Behandlung des rotierenden KS in der analytischen Schreibweise
Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit und Eulersche Winkel
Ableitung der Geschwindigkeit, Beschleunigung und der Bewegungsgleichungen im bewegten System
Anwendungen
Freier Fall auf der rotierenden Erde
Der Foucaultsche Pendelversuch
Die Lamorpräzession
Mitbewegte Basissysteme für krummlinige orthogonale Koordinatensystem
Mechanik des starren Körpers
Kinematik des starren Körpers
Dynamik des starren Körpers
Die Bewegungsgleichungen für einen starren Körper
Der Drehimpulssatz
Gleichgewichtsbedingungen. Statik des starren Körpers
Der Trägheitstensor
Der Steinersche Satz
Trägheitsmoment um eine Achse
Die kinetische Energie des starren Körpers
Die Eulerschen Gleichungen
Bewegung um eine feste Achse
Das physikalische Pendel
Kreiseltheorie
Der freie Kreisel. Poinsotsche Darstellung der Bewegung
Der freie symmetrische Kreisel
Der schwere symmetrische Kreisel
Spezielle Relativitätstheorie und Relativistische Mechanik
Einführung
Das Relativitätsprinzip
Galileitransformation
Prinzip der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit c
Ableitung der Lorentztransformationen
Folgerungen aus den Lorentztransformationen und deren experimentelle Überprüfung
Relativierung des Begriffes der Gleichzeitigkeit
Zeitdilatation
Zwillingsparadoxon, Uhrenparadoxon
Lorentzkontraktion
Additionstheorem der Geschwindigkeiten
Verallgemeinerung der Lorentztransformation
Vierdimensionale Vektorrechnung, die Minkowskiwelt
Relativistische Kinematik
Relativistische Dynamik
Der relativistische Energiesatz
Einige Beispiele relativistischer Bewegungen
Bewegung eines elektrisch geladenen Teilchens in einem statischen
homogenen elektrischen Feld
Die relativistische Keplerbewegung
Bewegung eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld
Wechselwirkung von Teilchen und Photonen
Der Comptoneffekt
Die Paarerzeugung
Zerfall eines neutralen Pions in zwei Gammaquanten
Prinzipe der Mechanik
Prinzip der virtuellen Verrückungen
Das Prinzip von d'Alembert
Typen von Nebenbedingungen
Lagrangesche Gleichungen erster Art
Die Lagrangesche Zentralgleichung und die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art
Die Lagrangeschen Gleichungen für Kräfte ohne Potential
Lagrangefunktion für die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld
Lagrangefunktion für ein relativistisches geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld
Das sphärische Pendel
Das Doppelpendel
Normalschwingungen
Normalschwingungen des Doppelpendels
Das Hamiltonsche Prinzip
Die Lagrangefunktion eines Systems von N Massenpunkten
Symmetrien der Lagrangefunktion und Erhaltungsgrößen
Energieerhaltung und Zeittranslationen
Infinitesimale Koordinatentransformationen
Die Erhaltungsgrößen
Translationsinvarianz und Impulserhaltung
Drehinvarianz und Drehimpulserhaltung
Invarianz gegen Geschwindigkeitstransformationen und Schwerpunktserhaltung
Zusammenfassung der Invarianzen und Erhaltungssätze
Anhang über Variationsrechnung
Eine abhängige Variable
Mehrere abhängige Variable
Variationsprobleme mit Nebenbedingungen
Kanonische Bewegungsgleichungen. Hamilton-Jacobische Integrationstheorie
Kanonischer Impuls. Kanonische Bewegungsgleichungen
Die physikalische Bedeutung der Hamiltonfunktion
Die Hamiltonfunktion für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld
Das Eulersche Theorem für homogene Formen
Der Phasenraum
Der eindimensionale harmonische Oszillator
Das mathematische Pendel
Das Zentralkraftproblem
Darstellung im Phasenraum für Vielteilchensysteme
Anwendung in der Physik der Teilchenbeschleuniger
Der Energiesatz
Zyklische Variable und Integrale der Bewegung
Kanonische Transformation
Differentialinvarianten kanonischer Transformationen. Bedingungen
für kanonische Transformationen. Lagrange- und Poissonklammern.
Bedingungen aus der erzeugenden Funktion
Lagrange-Klammern
Poisson-Klammern
Poisson-Klammern für Zeitableitungen dynamischer Größen
Integralinvarianten kanonischer Transformationen.
Der Satz von Liouville
Die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung.
Die Wirkungsfunktion
Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Unterschiede in der Lösungsmannigfaltigkeit
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen: Allgemeine Lösung und vollständiges Integral
Die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung für die verkürzte Wirkungsfunktion
Separable Systeme. Mehrfach periodische Bewegung
Lösung der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung durch Separation
Periodische und mehrfach periodische Bewegung. Wirkungs- und Winkelvariable.
Das Zentral- und das Keplerproblem
Literatur
Über dieses Dokument ...
Christian Sommer 2003-01-27
