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Das Einheitsquaternion - Versionsgeschichte
2024-03-29T13:51:03Z
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80.109.200.142 am 9. März 2005 um 17:29 Uhr
2005-03-09T17:29:19Z
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.</div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.</div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Image:img115.gif|framed|Quaternion zur Beschreibung einer Rotation]]</div></td>
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80.109.200.142
https://itp.tugraz.at/wiki/index.php?title=Das_Einheitsquaternion&diff=568&oldid=prev
Dazwiafl am 8. März 2005 um 17:23 Uhr
2005-03-08T17:23:56Z
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Version vom 8. März 2005, 17:23 Uhr</td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.</div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.</div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Image:img115.gif|framed|Quaternion zur Beschreibung einer Rotation]]</div></td>
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<td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br><br>Das Quaternion geht auf Hamilton zurueck und kann mathematisch als eine komplexe Zahl mit drei verschiedenen <del class="diffchange diffchange-inline">imaginären</del> Anteilen behandelt werden:</div></td>
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<td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br><br>Das Quaternion geht auf Hamilton zurueck und kann mathematisch als eine komplexe Zahl mit drei verschiedenen <ins class="diffchange diffchange-inline">imaginaeren</ins> Anteilen behandelt werden:</div></td>
</tr>
<tr>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br></div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br></div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\dot q = q_0 + \mathfrak{i}q_x + \mathfrak{j}q_y + \mathfrak{k}q_z</math> mit <math>\ q_0, q_x, q_y, q_z \in \mathbb{R}.</math> </div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\dot q = q_0 + \mathfrak{i}q_x + \mathfrak{j}q_y + \mathfrak{k}q_z</math> mit <math>\ q_0, q_x, q_y, q_z \in \mathbb{R}.</math> </div></td>
</tr>
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Dazwiafl
https://itp.tugraz.at/wiki/index.php?title=Das_Einheitsquaternion&diff=562&oldid=prev
Dazwiafl am 8. März 2005 um 17:12 Uhr
2005-03-08T17:12:59Z
<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Version vom 8. März 2005, 17:12 Uhr</td>
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<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 1:</td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.</div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.</div></td>
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<td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Image:<del class="diffchange diffchange-inline">https://online1.tu-graz.ac.at/prod/img/co_logo_m</del>.gif|framed|Quaternion zur Beschreibung einer Rotation]]</div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br><br>Das Quaternion geht auf Hamilton zurueck und kann mathematisch als eine komplexe Zahl mit drei verschiedenen imaginären Anteilen behandelt werden:</div></td>
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</tr>
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<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br></div></td>
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</tr>
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Dazwiafl
https://itp.tugraz.at/wiki/index.php?title=Das_Einheitsquaternion&diff=561&oldid=prev
80.109.200.142 am 8. März 2005 um 17:08 Uhr
2005-03-08T17:08:48Z
<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Version vom 8. März 2005, 17:08 Uhr</td>
</tr><tr>
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<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 1:</td>
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<tr>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.</div></td>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.</div></td>
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<td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Image:<del class="diffchange diffchange-inline">dazwiafl</del>.<del class="diffchange diffchange-inline">da</del>.<del class="diffchange diffchange-inline">funpic</del>.<del class="diffchange diffchange-inline">de</del>/<del class="diffchange diffchange-inline">img115</del>.gif|framed|Quaternion zur Beschreibung einer Rotation]]</div></td>
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<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br><br>Das Quaternion geht auf Hamilton zurueck und kann mathematisch als eine komplexe Zahl mit drei verschiedenen imaginären Anteilen behandelt werden:</div></td>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br><br>Das Quaternion geht auf Hamilton zurueck und kann mathematisch als eine komplexe Zahl mit drei verschiedenen imaginären Anteilen behandelt werden:</div></td>
</tr>
<tr>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><br></div></td>
<td class="diff-marker"> </td>
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</tr>
</table>
80.109.200.142
https://itp.tugraz.at/wiki/index.php?title=Das_Einheitsquaternion&diff=560&oldid=prev
80.109.200.142 am 8. März 2005 um 16:54 Uhr
2005-03-08T16:54:45Z
<p></p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor <math>\mathbf{n}</math> und ein Winkel <math>\theta</math> dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel <math>\theta</math>.<br />
[[Image:dazwiafl.da.funpic.de/img115.gif|framed|Quaternion zur Beschreibung einer Rotation]]<br />
<br><br>Das Quaternion geht auf Hamilton zurueck und kann mathematisch als eine komplexe Zahl mit drei verschiedenen imaginären Anteilen behandelt werden:<br />
<br><br />
<math>\dot q = q_0 + \mathfrak{i}q_x + \mathfrak{j}q_y + \mathfrak{k}q_z</math> mit <math>\ q_0, q_x, q_y, q_z \in \mathbb{R}.</math> <br />
<br><br><br />
Bei gegebenem Einheitsvektor <math>\mathbf{n}= (n_x, n_y, n_z)^T</math> und Rotationswinkel <math>\theta_n</math> laesst sich das Einheitsquaternion berechnen durch:<br />
<math>q_0 = \cos \frac{\theta_n}{2}</math><br><br />
<math>q_x = n_x \, \sin \frac{\theta_n}{2}</math><br><br />
<math>q_y = n_y \, \sin \frac{\theta_n}{2}</math><br><br />
<math>q_z = n_z \, \sin \frac{\theta_n}{2}.</math><br><br />
<br><br><br />
Die Rotationsmatrix berechnet sich aus einem Einheitsquaternion <math>\dot q </math> wie folgt:<br><br />
<math>R = \begin{pmatrix} (q_0^2 + q_x^2 - q_y^2 - q_z^2) & 2(q_xq_y + q_zq_0) & 2(q_xq_z + q_yq_0) \\ 2(q_xq_y + q_zq_0) & (q_0^2 - q_x^2 + q_y^2 + q_z^2) & 2(q_yq_z - q_xq_0) \\<br />
2(q_zq_x - q_yq_0) & 2(q_zq_y + q_xq_0) & (q_0^2 - q_x^2 - q_y^2 + q_z^2) \end{pmatrix}</math><br />
<br><br><br />
Die Verwendung des Einheitsquaternions zur Darstellung von Rotationen garantiert, dass die entsprechende Rotationsmatrix orthonormal ist.</div>
80.109.200.142