Vielteilchensimulation mit anziehenden Kräften zwischen den Teilchen: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | ==== Dieses Projekt erzeugt eine Simulation von Teilchenbahnen auf Grund der Wechselwirkungen(hier Gravitationskräfte) die zwischen den einzelnen Teilchen wirken. |
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| + | Zusätzlich wird die Stabilität der Bahnen untersucht und mit Kegelschnitten verglichen. ==== |
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| − | Dieses Projekt erzeugt eine Simulation von Teilchenbahnen auf Grund der Wechselwirkungen(hier Gravitationskräfte) die zwischen den einzelnen Teilchen wirken. |
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| + | === Physikalische Grundlagen(ident mit Projekt: "Simulation unseres Sonnensystems" === |
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| + | Damit die Teilchenbahnen berechnet werden können, muss folgendes Differentialgleichungssystem gelöst werden.<br> |
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| + | ==== Anfangsbedingungen ==== |
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| − | == Physikalische Grundlagen == |
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| + | <UL> |
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| + | <LI>Startposition von n Planeten (<math>\vec r_1,\;\vec r_2,\;\cdots\;\vec r_n</math>)</LI> |
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| + | <LI>Startgeschwindigkeiten von n Planeten (<math>\vec v_1,\;\vec v_2,\;\cdots\;\vec v_n</math>)</LI> |
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| + | ==== Differentialgleichungen ==== |
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| + | '''Geschwindigkeiten'''<br> |
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| + | <math>\vec \dot{r_1}\;=\;\vec v_1</math><br> |
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| + | <math>\vec \dot{r_2}\;=\;\vec v_2</math><br> |
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| + | <math>\cdots\;</math><br> |
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| + | <math>\vec \dot{r_n}\;=\;\vec v_n</math><br><br> |
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| + | '''Beschleunigungen'''<br> |
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| + | <math>\vec \dot{v_1}\;=\;\vec a_1</math><br> |
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| + | <math>\vec \dot{v_2}\;=\;\vec a_2</math><br> |
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| + | <math>\cdots\;</math><br> |
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| + | <math>\vec \dot{v_n}\;=\;\vec a_n</math><br><br> |
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| + | Die Teilbeschleunigungen, die ein Planet durch die Gravitationsfelder aller anderen Planeten erfährt, werden mit Hilfe des '''NEWTONschen Gravitationsgesetzes''', das die Anziehungskraft zweier Massepunkte bzw. zweier homogener Kugeln, wie es Planeten in diesem Modell näherungsweise sind, berechnet:<br><br> |
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| − | Gravitationskraft |
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| + | <math>\vec F_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_nm_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} </math> und <math>\vec F_n\;=\;m_n\vec a_n </math> <math>\Longrightarrow \vec a_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} </math> <br><br> |
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| + | <table halign='right'> |
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| + | <tr> |
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| + | <td><math>\vec F_n\;</math></td> |
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| + | <td><math>\cdots\;</math></td> |
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| + | <td><math>\mbox{Gravitationskraft, die auf Planeten }n\mbox{ wirkt}\;</math></td> |
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| + | <tr> |
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| + | <td><math>m_n\;</math></td> |
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| + | === Programmtechnische Hintergründe === |
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| − | <math>F_{ik}=-\gamma * m_{i}*m_{k}* \frac{\overrightarrow{r_{k}}-\overrightarrow{r_{i}}}{\sqrt{{(r_{k}^{2}+r_{i}^{2})}^{3}}}</math> |
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| + | Ein wesentlicher Part dieses Projektes ist die Betrachtung der Stabilität der Bahnen. |
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| + | Hier werden die Ergebnisse der Lösung des DG-Systems nach der manuell programmierten simplen Eulermethode und dem Matlabinternen Ode23t-Solver verglichen mit einem Kegelschnitt. |
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| + | Ode23t wird dann auch in einem weiteren Programm zur Berechnung der Teilchenbahnen unter Berücksichtigung aller Gravitations-Wechselwirkungen verwendet. |
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| − | Newton'sche Bewegungsgleichung |
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| + | === Beschreibung der Files === |
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| − | <math>F=m*r''</math> |
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| − | == Programmtechnische Hintergründe == |
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| − | In den ersten Versionen führt das Programm die zweimalige Integration der Beschleunigung nach der Zeit mit einer einfachen Zeitschrittmethode durch. Hier bewirkt die Wahl eines sehr kleinen delta_t's eine eine ausreichende Genauigkeit für eine anschauliche Simulation. |
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| − | Eine weitere Version führt die Integration mit einem Matlab internen ODE-Solver durch. |
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Version vom 6. April 2005, 11:38 Uhr
==== Dieses Projekt erzeugt eine Simulation von Teilchenbahnen auf Grund der Wechselwirkungen(hier Gravitationskräfte) die zwischen den einzelnen Teilchen wirken. Zusätzlich wird die Stabilität der Bahnen untersucht und mit Kegelschnitten verglichen. ====
Inhaltsverzeichnis
Physikalische Grundlagen(ident mit Projekt: "Simulation unseres Sonnensystems"
Damit die Teilchenbahnen berechnet werden können, muss folgendes Differentialgleichungssystem gelöst werden.
Anfangsbedingungen
- Startposition von n Planeten ([math]\vec r_1,\;\vec r_2,\;\cdots\;\vec r_n[/math])
- Startgeschwindigkeiten von n Planeten ([math]\vec v_1,\;\vec v_2,\;\cdots\;\vec v_n[/math])
Differentialgleichungen
Geschwindigkeiten
[math]\vec \dot{r_1}\;=\;\vec v_1[/math]
[math]\vec \dot{r_2}\;=\;\vec v_2[/math]
[math]\cdots\;[/math]
[math]\vec \dot{r_n}\;=\;\vec v_n[/math]
Beschleunigungen
[math]\vec \dot{v_1}\;=\;\vec a_1[/math]
[math]\vec \dot{v_2}\;=\;\vec a_2[/math]
[math]\cdots\;[/math]
[math]\vec \dot{v_n}\;=\;\vec a_n[/math]
Die Teilbeschleunigungen, die ein Planet durch die Gravitationsfelder aller anderen Planeten erfährt, werden mit Hilfe des NEWTONschen Gravitationsgesetzes, das die Anziehungskraft zweier Massepunkte bzw. zweier homogener Kugeln, wie es Planeten in diesem Modell näherungsweise sind, berechnet:
[math]\vec F_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_nm_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} [/math] und [math]\vec F_n\;=\;m_n\vec a_n [/math] [math]\Longrightarrow \vec a_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} [/math]
Programmtechnische Hintergründe
Ein wesentlicher Part dieses Projektes ist die Betrachtung der Stabilität der Bahnen. Hier werden die Ergebnisse der Lösung des DG-Systems nach der manuell programmierten simplen Eulermethode und dem Matlabinternen Ode23t-Solver verglichen mit einem Kegelschnitt. Ode23t wird dann auch in einem weiteren Programm zur Berechnung der Teilchenbahnen unter Berücksichtigung aller Gravitations-Wechselwirkungen verwendet.
Beschreibung der Files
| [math]\vec F_n\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Gravitationskraft, die auf Planeten }n\mbox{ wirkt}\;[/math] |
| [math]m_n\;[/math] |
