$PrePrint= MatrixForm

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Das vorliegende Skriptum entstand aus einer Fachbereichsarbeit und orientiert sich am Buch von E. Kreyszig,  Advanced Engineering Mathematics, 8th Ed. John Wiley 1999.

1 Vektorrechnung

1.1  Skalare und Vektoren

Man kann die Begriffe Skalar und Vektor am besten anhand von physikalischen Beispielen veranschaulichen. Eine skalare Größe ist eine Größe, die durch eine einzige reelle Zahl bestimmt wird. Beispiele dafür sind: die Masse eines Körpers, das Volumen eines Körpers, die Temperatur, der Widerstand usw.
Aber meistens reicht eine einzige Zahl für die Beschreibung einer Größe nicht aus. In der Mechanik, zur Charakterisierung einer Kraft etwa, verwendet man einen Vektor. Ein Vektor entspricht einer gerichteten Strecke, die nicht nur die Stärke angeben kann, sondern auch die Richtung in der die Kraft wirkt.

1.2  Komponenten eines Vektors

Es sei (Overscript[a, ->]) ein Vektor in einem kartesischen Koordinatensystem, der durch eine gerichtete Strecke PQ, wobei P der Anfangspunkt und Q der Endpunkt ist, gegeben ist. Die Koordinaten vom Punkt P sind ((Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])), die vom Punkt Q sind ((Subscript[x, 2]),(Subscript[y, 2])). Die Komponenten des Vektors (Overscript[a, ->]) erhält man indem man von der Spitze (dem Endpunkt P), den Schaft (den Anfangspunkt Q), abzieht.

(Subscript[a, 1]) = (Subscript[x, 2]) - (Subscript[x, 1]),	(Subscript[a, 2]) = (Subscript[y, 2]) - (Subscript[y, 1]).

Die Länge des Vektors |(Overscript[a, ->])| ist der Abstand der Punkte P und Q voneinander und ist daher (Pythagoras)

|(Overscript[a, ->])| = (Sqrt[((Subscript[a, 1])^2)+ ((Subscript[a, 2])^2)]).

Beispiel 1:
Der Vektor (Overscript[a, ->]) hat den Anfangspunkt P = (1,2) und Endpunkt Q = (3,4). Die Komponenten sind daher

(Subscript[a, 1]) = 3 - 1 = 2,	(Subscript[a, 2]) = 4 - 2 = 2

und die Länge von (Overscript[a, ->]) ist

|(Overscript[a, ->])| = (Sqrt[(2^2)+(2^2)])= (Sqrt[8]).

Anmerkung: Bei dieser Darstellung muss man Punkte und Vektoren unterscheiden. Punkte kann man nicht addieren. Man spricht daher auch von affinen Räumen, wenn man Punkte und Vektoren gleichzeitig betrachtet. Punkte und Vektoren verhalten sich aber  unterschiedlich, wenn man das Koordinatensystem ändert.
Eine andere Möglichkeitder der geometrischen Veranschaulichung ist nur sogenannte Ortsvektoren (n-Tupel) zu betracheten.

In Mathematica wird ein Vektor durch ein n-Tupel (Liste) angegeben

v={2,1,3}

w={1,2,2}

u={3,2}

Beispiel 1: Länge von Vektoren mit Mathematica

vektornorm[v__]:=(((Sum[((v[[i]])^2),{i,1,Length[v]}]))^(1/2))

vektornorm[w]

Anmerkung:
Die interne VektorNorm funktionierte in älteren Mathematica-Versionen nur nummerisch

Norm[{1,1,1}-{2,2,2},2]

<<LinearAlgebra`MatrixManipulation`

VectorNorm[{1,1,1}-{2,2,2},2]

Ortsvektor:
Ein Ortsvektor hat seinen Anfangspunkt im Koordinatenursprung (0,0). Daraus folgt, daß die Koordinaten des Endpunkts gleich die Komponenten des Vektors ergeben.

Nullvektor:
Bei einem Nullvektor (Overscript[0, ->]) fallen der Anfangs- und Endpunkt zusammen. Der
Nullvektor hat die Länge Null und eine unbestimmte Richtung.

Einheitsvektor:
Der Einheitsvektor (Overscript[e, ->]) ist ein Vektor dessen Betrag (Länge) |(Overscript[e, ->])| gleich 1 ist. Zu jedem Vektor kann ein Einheitsvektor mit der gleichen Orientierung angegeben werden.

|(Overscript[e, ->])| = 1,
(Subscript[(Overscript[e, ->]), (Overscript[b, ->])]) = (Overscript[b, ->]) * (1/(|(Overscript[b, ->])|)).

Beispiel 2: Einheitsvektor mit Mathematica

einheitsvektor[v_]:=v/vektornorm[v]

einheitsvektor[w]

Clear[w]

1.3 Addition von Vektoren und Multiplikation
      mit Skalaren

Addition von Vektoren
Die Vektoraddition ist eine Basisrechenoperation in der Vektorrechnung. Wenn man zwei Vektoren (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) addieren will, muß man die einzelnen Komponenten miteinander addieren. Der Anfangspunkt des daraus folgenden Vektors (Overscript[c, ->]) ist der Anfangspunkt von (Overscript[a, ->]) und der Endpunkt von (Overscript[c, ->]) ist der Endpunkt von (Overscript[b, ->]).

(Overscript[a, ->]) + (Overscript[b, ->]) = (Overscript[c, ->]),	(({{(Subscript[a, 1])}, {(Subscript[a, 2])}})) + (({{(Subscript[b, 1])}, {(Subscript[b, 2])}})) = (({{(Subscript[a, 1]), +, (Subscript[b, 1])}, {(Subscript[a, 2]), +, (Subscript[b, 2])}})) = (({{(Subscript[c, 1])}, {(Subscript[c, 2])}})).

Für die Vektoraddition gilt das Kommutativgesetz. Das heißt, daß

(Overscript[a, ->]) + (Overscript[b, ->]) = (Overscript[b, ->]) + (Overscript[a, ->])

ist.

Aus der Skizze unten ist dies ersichtlich.

Die Vektoraddition unterliegt auch dem Assiozativgesetz welches aussagt, daß

((Overscript[a, ->]) + (Overscript[b, ->])) + (Overscript[c, ->]) = (Overscript[a, ->]) + ((Overscript[b, ->]) + (Overscript[c, ->])).

Zu jedem Vektor (Overscript[a, ->]) gibt es einen inversen Vektor  -(Overscript[a, ->]), sodaß gilt

(Overscript[a, ->]) + (-(Overscript[a, ->])) = (Overscript[0, ->]).

Es gilt auch

(Overscript[a, ->]) + (Overscript[0, ->]) = (Overscript[a, ->]).

Zusammengefaßt kann man sagen, daß die Vektoren bezüglich der Vektoraddition eine kommutative Gruppe bilden.

Beispiel 3: Addition von Vektoren mit Mathematica

(({{(Subscript[a, 1])}, {(Subscript[a, 2])}}))+(({{(Subscript[b, 1])}, {(Subscript[b, 2])}}))

Multiplikation mit Skalaren
Man kann einen Vektor (Overscript[a, ->]) mit einem Skalar λ, also einer reellen Zahl, multiplizieren. Die Komponenten des Vektors λ(Overscript[a, ->]) lauten (λ(Subscript[a, 1]), λ (Subscript[a, 2 ])). Bei der Multiplikation mit Skalaren   λ, μ  gelten jetzt folgende Gesetze

(i)	λ(μ(Overscript[a, ->])) = (λμ)(Overscript[a, ->]) 	gemischtes Assoziativgesetz
(ii)	1(Overscript[a, ->]) = (Overscript[a, ->])
(iii)	λ((Overscript[a, ->]) + (Overscript[b, ->]))= λ(Overscript[a, ->]) + λ(Overscript[b, ->])	gemischtes Distributivgesetz
(iv)	(λ + μ)(Overscript[a, ->]) = λ(Overscript[a, ->]) + μ(Overscript[b, ->])

Wenn der Skalar eine negative Zahl ist, wird die Orientierung des Vektors umgekehrt.

Beispiel 4: Multiplikation mit Skalaren mit Mathematica

λ*(({{(Subscript[a, 1])}, {(Subscript[a, 2])}}))

1.4  Vektorräume

Ein Vektorraum oder auch linearer Raum besteht aus der Menge aller Elemente die er beinhaltet. Die Definition eines reellen Vektorraumes lautet: Gegeben sei eine Menge deren Elemente sämtliche Rechenregeln der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar wie im Kapitel 1.3 befolgen. Diese Elemente bilden dann einen Vektorraum und heißen Vektoren. Statt der reellen Zahlen können auch in analoger Weise Vektorräume über den komplexen Zahlen definiert werden.

Lineare Abhänigkeit und Unabhänigkeit:

Die Vektoren (Overscript[(Subscript[v, 1]), ->]), ..., (Overscript[(Subscript[v, m]), ->]) nennt man linear unabhängig, wenn gilt

(Subscript[λ, 1])(Overscript[(Subscript[v, 1]), ->]) + (Subscript[λ, 2])(Overscript[(Subscript[v, 2]), ->]) + ... + (Subscript[λ, m])(Overscript[(Subscript[v, m]), ->]) = 0  =>  (Subscript[λ, 1]) = (Subscript[λ, 2]) = ... = (Subscript[λ, m]) = 0.

In einer linear abhängigen Menge von Vektoren eines Vektorraumes kann man mindestens einen der Vektoren durch eine lineare Kombination der anderen darstellen. Bei einer linear unahängigen Menge funktioniert das nicht.
Die maximale Anzahl n von linear unabhängigen Vektoren eines Vektorraumes nennt man seine Dimension n und eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren eine Basis des Vektorraumes. Jeder Vektor kann dann durch eine lineare Kombination der Basisvektoren gebildet werden.

Beispiel 5: Lineare Abhänigkeit und Unabhänigkeit mit Mathematica:

a={1,2,3}
b={4,5,6};
c1={7,8,9};
c2={7,8,8};
d={0,0,0};

Solve[(Subscript[λ, 1  ])a+(Subscript[λ, 2 ]) b+(Subscript[λ, 3 ]) c1==d,{ (Subscript[λ, 2 ]),(Subscript[λ, 3 ]), (Subscript[λ, 1])}]

Solve[(Subscript[λ, 1  ])a+(Subscript[λ, 2 ]) b+(Subscript[λ, 3 ]) c2==d,{ (Subscript[λ, 2 ]),(Subscript[λ, 3 ]), (Subscript[λ, 1])}]

Clear[a,b,c,d]

1.5  Inneres (skalares) Produkt zweier Vektoren

Die vektorielle Projektion:
Gegeben sind zwei Vektoren (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]). Die vektorielle Projektion von (Overscript[a, ->]) auf (Overscript[b, ->]) ist der Vektor (Overscript[b, ->])' der parallel zu (Overscript[a , ->])ist und dessen Länge durch die orthogonale Projektion von (Overscript[b, ->]) auf (Overscript[a, ->]) gegeben ist. Es gilt

|(Overscript[b, ->])'| = |(Overscript[b, ->])|  cos φ.

Beispiel: Dreieck
Der Höhenvektor (Overscript[(Subscript[h, (Overscript[c, ->])]), ->])ist gleich der Projektion des Seitenvektors (Overscript[a, ->]) auf den Normalseitenvektor von (Overscript[c, ->])

(Overscript[(Subscript[h, (Overscript[c, ->])]), ->]) = (Overscript[a', ->]).

Skalares Produkt:
Das skalare Produkt von (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) ist eine reelle Zahl, die gegeben ist durch das Produkt der Länge der vektoriellen Projektion von (Overscript[b, ->]) auf (Overscript[a, ->]) mal der Länge des Vektors (Overscript[a, ->]).

(Overscript[a, ->])  (Overscript[b, ->]) = |(Overscript[a, ->])|  |(Overscript[b, ->])'|,
(Overscript[a, ->])  (Overscript[b, ->]) = |(Overscript[a, ->])|  |(Overscript[b, ->])|  cos φ.

Für das skalare Produkt von (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) sind auch noch folgende Schreibweisen üblich

(Overscript[a, ->]) (Overscript[b, ->]) = ≺(Overscript[a, ->]), (Overscript[b, ->])≻ = ((Overscript[a, ->]), (Overscript[b, ->])).

Bei der skalaren Multiplikation werden die Vektoren wie folgt multipliziert:

(({{(Subscript[a, 1])}, {(Subscript[a, 2])}})) (({{(Subscript[b, 1])}, {(Subscript[b, 2])}}))=(Subscript[a, 1]) (Subscript[b, 1])+(Subscript[a, 2]) (Subscript[b, 2])

(Overscript[a, ->]) = (Subscript[a, 1])(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + (Subscript[a, 2])(Overscript[(Subscript[e, y]), ->]) ,	(Overscript[b, ->]) = (Subscript[b, 1])(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + (Subscript[b, 2])(Overscript[(Subscript[e, y]), ->]),
(Overscript[a, ->]) (Overscript[b, ->]) = ((Subscript[a, 1])(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + (Subscript[a, 2])(Overscript[(Subscript[e, y]), ->])) ( (Subscript[b, 1])(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + (Subscript[b, 2])(Overscript[(Subscript[e, y]), ->]))
= (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]) + (Subscript[a, 2])(Subscript[b, 2]),

da (Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) (Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) = 1 und (Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) (Overscript[(Subscript[e, y]), ->]) = 0 ist.

Beispiel 6: Skalares Produkt mit Mathematica

Dot[{1.2,1.1,1}, {5.4,-2,1.2}]

{1.2,1.1,1} .  {5.4,-2,1.2}

Wenn die Vektoren als Spaltenmatrizen geschrieben werden,
 kann man auch folgende Definition verwenden

skalaresprodukt[v__,w__]:=Sum[v[[i]]* w[[i]],{i,1,Length[v]}]

v1={1.2,1.1,1};

v2={5.4,-2,1.2};

skalaresprodukt[v1,v2]

1.6  Innere Produkträume

Ein reeller Vektorraum wird dann ein reeller (innerer Produktraum) oder Vektorraum mit Skalarprodukt genannt, wenn folgende Bedingungen erfüllt werden: Zu jedem Paar von Vektoren (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) gibt es eine zugehörige reelle Zahl genannt inneres Produkt (skalares Produkt).

1.7  Vektorprodukte

Das Vektorprodukt auch Kreuzprodukt oder Dachprodukt genannt gibt es nur im (ℝ^3). Das Produkt (Overscript[a, ->]) × (Overscript[b, ->]) (bzw. (Overscript[a, ->]) ∧ (Overscript[b, ->])) zweier Vektoren (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) ergibt einen Vektor (Overscript[v, ->]), der auf die Ebene, die (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) bilden, normal steht. Der Betrag des Vektors (Overscript[v, ->]) ist die Fläche des von  (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) aufgepannten Parallelogramms. (Overscript[a, ->]), (Overscript[b, ->]) und (Overscript[v, ->]) bilden ein Rechtssystem. Es gilt

|(Overscript[a, ->]) × (Overscript[b, ->])| = |(Overscript[v, ->])| = |(Overscript[a, ->])|  |(Overscript[b, ->])|  sin φ.

Vektorprodukte erfüllen nicht das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz.  Durch die Rechtsschraubenregel kann man (Overscript[b, ->]) × (Overscript[a, ->]) aus (Overscript[a, ->]) × (Overscript[b, ->]) bestimmen.

((Overscript[a, ->]) × (Overscript[b, ->])) × (Overscript[c, ->]) ≠ (Overscript[a, ->]) × ((Overscript[b, ->]) × (Overscript[c, ->])),
(Overscript[a, ->]) × (Overscript[b, ->]) = - (Overscript[b, ->]) × (Overscript[a, ->]) .

Daraus folgt: sind die Vektoren (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) parallel, so gilt

(Overscript[a, ->]) × (Overscript[b, ->]) = (Overscript[0, ->]).

Für eine orthonormale Basis gilt

(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) × (Overscript[(Subscript[e, y]), ->]) = (Overscript[(Subscript[e, z]), ->]).

1.8  Vektorprodukte durch ihre Komponenten
       ausgedrückt

Um mit Vektorprodukten rechnen zu können muß man wissen, daß

(Overscript[v, ->]) = (({{(Subscript[v, 1])}, {(Subscript[v, 2])}, {(Subscript[v, 3])}})) =  (({{(Subscript[a, 1])}, {(Subscript[a, 2])}, {(Subscript[a, 3])}})) × (({{(Subscript[b, 1])}, {(Subscript[b, 2])}, {(Subscript[b, 3])}})) = (({{(Subscript[a, 2]), (Subscript[b, 3]), -, (Subscript[a, 3]), (Subscript[b, 2])}, {-(Subscript[a, 1]), (Subscript[b, 3]), +, (Subscript[a, 3]), (Subscript[b, 1])}, {(Subscript[a, 1]), (Subscript[b, 2]), -, (Subscript[a, 2]), (Subscript[b, 1])}})) = det (({{(Subscript[(Overscript[e, ->]), x]), (Subscript[(Overscript[e, ->]), y]), (Subscript[(Overscript[e, ->]), z])}, {(Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3])}, {(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]), (Subscript[b, 3])}})).

Dies folgt unmittelbar aus der Darstellung

(Overscript[a, ->]) = (Subscript[a, 1])(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + (Subscript[a, 2])(Overscript[(Subscript[e, y]), ->]) + (Subscript[a, 3])(Overscript[(Subscript[e, z]), ->]),	(Overscript[b, ->]) = (Subscript[b, 1])(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + (Subscript[b, 2])(Overscript[(Subscript[e, y]), ->]) + (Subscript[b, 3])(Overscript[(Subscript[e, z]), ->]),
(Overscript[a, ->])×(Overscript[b, ->]) = ((Subscript[a, 1])(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + (Subscript[a, 2])(Overscript[(Subscript[e, y]), ->]) + (Subscript[a, 3])(Overscript[(Subscript[e, z]), ->])) × ( (Subscript[b, 1])(Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + (Subscript[b, 2])(Overscript[(Subscript[e, y]), ->]) + (Subscript[b, 3])(Overscript[(Subscript[e, z]), ->]))
= ((Subscript[a, 2])(Subscript[b, 3]) - (Subscript[a, 3])(Subscript[b, 2])) (Overscript[(Subscript[e, x]), ->]) + ((Subscript[a, 3])(Subscript[b, 1]) - (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 3])) (Overscript[(Subscript[e, y]), ->]) + ((Subscript[a, 1])(Subscript[b, 2]) - (Subscript[a, 2])(Subscript[b, 1])) (Overscript[(Subscript[e, z]), ->]).

Zwecks Vollständigkeit wurde hier bereits die Formel mit der Determinante angegeben, obwohl deren Definition erst im nächsten Kapitel erfolgt.

Beispiel: Abstand zweier windschiefer Geraden.
Der Vektor (((Overscript[a, ->])×(Overscript[b, ->]))/(|(Overscript[a, ->])×(Overscript[b, ->])|)) steht normal auf die Geraden (Subscript[G, (Overscript[a, ->])]), (Subscript[G, (Overscript[b, ->])]) mit den Richtungsvektoren (Overscript[a, ->]) und (Overscript[b, ->]) und hat die Länge eins.  Der Abstand d ist dann gegeben durch das Skalarprodukt

d = ≺(((Overscript[a, ->])×(Overscript[b, ->]))/(|(Overscript[a, ->])×(Overscript[b, ->])|)), (Overscript[c, ->])≻

wobei der Vektor (Overscript[c, ->]) ein beliebiger Vektor ist, dessen Anfangspunkt auf der Geraden (Subscript[G, (Overscript[a, ->])]) und dessen Endpunkt auf der Geraden (Subscript[G, (Overscript[b, ->])]) liegt.

Beispiel 7: Vektorprodukt mit Mathematica

Cross[{1.2, 1.1, 0}, {5.4, -2, 1.2}]

{1.2, 1.1, 0} \[Cross] {5.4, -2, 1.2}

1.9  Das gemischte Produkt dreier Vektoren

(Overscript[a, ->]) ((Overscript[b, ->]) × (Overscript[c, ->])) = det (({{(Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3])}, {(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]), (Subscript[b, 3])}, {(Subscript[c, 1]), (Subscript[c, 2]), (Subscript[c, 3])}}))

Geometrisch kann das gemischte Produkt dreier Vektoren als das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Körpers (Parallelepiped) interpretiert werden.

2 Matrizen und Determinanten

2.1 Grundsätzliche Konzepte

Matrizen sind rechteckige "Felder", die aus Reihen und Spalten bestehen. Die Reihen und Spalten beinhalten die Koeffizienten der Matrix. Matrizen werden dazu verwendet um lineare Gleichungssysteme oder Transformationen darzustellen.

(Subscript[a, 11])(Subscript[x, 1])+ (Subscript[a, 12])(Subscript[x, 2]) = (Subscript[b, 1]) 
(Subscript[a, 21])(Subscript[x, 1])+ (Subscript[a, 22])(Subscript[x, 2]) = (Subscript[b, 2]).

Die Koeffizienten der ersten Gleichung werden in die erste Reihe der Matrix geschrieben, dann die der zweiten in die zweite Reihe.

A = (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})).

Damit kann das obige Gleichungssystem wie folgt dargestellt werden, wenn die Multiplikation entsprechend definiert wird. (Dies führt in weiterer Folge zur Definition der Matrizenmultiplikation.)

(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})).(({{(Subscript[x, 1])}, {(Subscript[x, 2])}})) = (({{(Subscript[b, 1])}, {(Subscript[b, 2])}}))

Spezielle Matrizen
Spezielle Matrizen sind zum Beispiel die Reihenmatrix, die nur aus einer Reihe besteht, oder die Spaltenmatrix, die nur aus einer Spalte besteht. (Man spricht auch von Reihenvektor oder Spaltenvektor.)

(({{(Subscript[a, 1]), ..., (Subscript[a, n])}})),   (({{(Subscript[b, 1])}, {:}, {(Subscript[b, n])}})).

Beispiel 8: Spaltenmatrix und Reihenmatrix mit Mathematica

{{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3])}}

{{(Subscript[x, 1])},{(Subscript[x, 2])}, {(Subscript[x, 3])}}

Eine Matrix deren Elemente abseits der Hauptdiagonalen null sind, heißt Diagonalmatrix. Sind in einer Diagonalmatrix die Elemente der Diagonale gleich 1, so erhält man die Einheitsmatrix. Die Einheitsmatrix entspricht der Einheit bei der Multiplikation.

E = (({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}})).

2.2 Addition von Matrizen,
      Multiplikation von Matrizen mit Zahlen

Addition von Matrizen:
Dabei werden die entsprechenden Komponenten beider Matrizen miteinander addiert. Dies geht nur, wenn beide Matritzen die gleiche Anzahl an Reihen und Spalten haben. Aus den zwei Matrizen wird eine neue Matrix gebildet. Hier werden die Rechenregeln an einer 2 × 2 Matrize demonstriert

A + B = C,

(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})) + (({{(Subscript[b, 11]), (Subscript[b, 12])}, {(Subscript[b, 21]), (Subscript[b, 22])}})) = (({{(Subscript[a, 11])+ (Subscript[b, 11]),  (Subscript[a, 12])+ (Subscript[b, 12])}, {(Subscript[a, 21]) + (Subscript[b, 21]), (Subscript[a, 22]) + (Subscript[b, 22])}})).

Multiplikation von Matrizen mit reellen Zahlen:
Bei der Multiplikationeiner matrix mit einer Zahl wird jede einzelne Komponente mit der Zahl multipliziert, zum Beispiel

λA = (({{λ (Subscript[a, 11]), λ (Subscript[a, 12])}, {λ (Subscript[a, 21]), λ (Subscript[a, 22])}})).

Beispiel 9: Addition von Matrizen mit Mathematica

(({{a, b}, {c, d}}))+ 3 (({{1, 1}, {0, 1}}))

2.3 Transponierte Matrizen

Die Transponierung (A^T) einer Matrix A funktioniert folgendermaßen: Die Elemente der Reihen werden mit denen der Spalten vertauscht, zum Beispiel

A = (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})),

(A^T) = (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 21])}, {(Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 22])}})).

Hierbei können folgende Sonderfälle auftreten: 
(a)	Die Symmetrische quadratische Matrix. Wenn man sie transponiert 		erhält man wieder dieselbe Matrix, zum Beispiel

A = (({{1, 6, 3}, {6, 0, -2}, {3, -2, 5}})),   (A^T) = A.

(b)	Schiefsymmetrische quadratische Matrix. Wenn man A transponiert 		erhält man  -A, zum Beispiel

A = (({{1, 6, 3}, {-6, 0, -2}, {-3, 2, 5}})),   (A^T) = -A.

(c)	Quadratische Dreiecksmatrix. Bei ihr besteht eine der zwei Seiten der 	Hauptdiagonale nur aus Nullen, zum Beispiel

A = (({{1, 0, 0}, {8, 2, 0}, {-3, 2, 5}})) oder  B = (({{1, 3, -6}, {0, 2, 5}, {0, 0, 5}})).

Eine untere Dreiecksmatrix wird bei Transponierung zu einer oberen und umgekehrt.

Beispiel 10: Transponierte Matrix mit Mathematica

Transpose[(({{1, 0, 0}, {8, 2, 0}, {-3, 2, 5}}))]

2.4 Matrizenmultiplikation

Zwei Matritzen kann man nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten mit der Zeilenanzahl der zweiten übereinstimmt. Die darausfolgende Matrix hat dann dieselbe Anzahl an Spalten und Reihen wie die erste Matrix. Nimmt man  zwei 2 × 2 Matrizen A und B dann ist das Produkt wie folgt definiert

(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})) . (({{(Subscript[b, 11]), (Subscript[b, 12])}, {(Subscript[b, 11]), (Subscript[b, 22])}})) = 
(({{(Subscript[a, 11])(Subscript[b, 11])+(Subscript[a, 12])(Subscript[b, 21]), (Subscript[a, 11])(Subscript[b, 12])+(Subscript[a, 12])(Subscript[b, 22])}, {(Subscript[a, 21])(Subscript[b, 11])+(Subscript[a, 22])(Subscript[b, 21]), (Subscript[a, 21])(Subscript[b, 12])+(Subscript[a, 22])(Subscript[b, 22])}})).

Um zu diesen Ergebnis zu gelangen, führt man folgende Merkregel ein. Dazu faßt man die zwei  Komponenten der Reihen von A zu jeweils einer zusammen.

A = (({{(Subscript[a, 1])}, {(Subscript[a, 2])}}))	wobei 
(Subscript[a, 1])= (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}})) 
(Subscript[a, 2])= (({{(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}))

Dann faßt man die zwei Komponenten der Spalten von B zu jeweils einer zusammen.

B = (({{(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2])}})) wobei

(Subscript[b, 1])= (({{(Subscript[b, 11])}, {(Subscript[b, 12])}})), (Subscript[b, 2])= (({{(Subscript[b, 21])}, {(Subscript[b, 22])}})).

Die Komponenten von C, kann man dann mit den skalaren Produkten errechnen.

C = (({{(Subscript[a, 1]).(Subscript[b, 1]), (Subscript[a, 1]).(Subscript[b, 2])}, {(Subscript[a, 2]).(Subscript[b, 1]), (Subscript[a, 2]).(Subscript[b, 2])}}))

Es gilt

(Subscript[c, jk]) =  (Subscript[a, j]).(Subscript[b, k]) = (Subscript[a, j,1])(Subscript[b, k,1])+ (Subscript[a, j,2])(Subscript[b, k,2]).

Beispiel 11: Matrizenmultiplikation mit Mathematica
Achtung: Mathematica unterscheidet natürlich normale Multiplikation "*" und 
Matrizenmultiplikation "."

(({{a, b}, {c, d}})).(({{1, 1}, {0, 1}}))

MatrixPower[(({{a, b}, {c, d}})),3]

2.5 Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist gegeben durch die Anzahl der linear unahängigen Reihenvektoren. Die Nullmatrix hat zum Beispiel den Rang 0. Die folgende Matrix

A = (({{3, 0, 2, 2}, {-1, 7, 4, 9}, {7, -7, 0, -5}}))

hat den Rang Ran(A) = 2. Begründet dadurch, daß die dritte Zeile eine lineare Kombination der beiden ersten ist.
Bei Spalten gibt es auch einen Rang einer Matrix. Man kann ihn mit der Anzahl der linear unahängigen Spaltenvektoren ermitteln. 
Es gilt: Spaltenrang ist gleich Zeilenrang!
Der Rang ist daher gleich der Dimension des Bildraumes der Matrix

Beispiel 12: Rang einer Matrix mit Mathematica

rang[x_]:=Last[Dimensions[x]]-Length[NullSpace[x]]

ma=(({{1, 0, 3}, {4, 2, 4}, {7, 8, 9}}));

mb=(({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}));

RowReduce[ma]

rang[ma]

oder auch mit dem internen Befehl

MatrixRank[ma]

RowReduce[mb]

rang[mb]

Clear[ma,mb]

Der Kern einer linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, die in den Nullvektor abgebildet werden
und wird daher auch noch Nullraum genannt.

Beispiel 13: Kern einer Abbildung (Matrix) mit Mathematica

Transpose[NullSpace[(({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}))]]

2.6 Lineare Gleichungssysteme
      Gauß'sches Eliminationsverfahren

Lineare Gleichungssysteme

(Subscript[a, 11])(Subscript[x, 1])+ (Subscript[a, 12])(Subscript[x, 2]) = (Subscript[b, 1]) 
(Subscript[a, 21])(Subscript[x, 1])+ (Subscript[a, 22])(Subscript[x, 2]) = (Subscript[b, 2])

Alle (Subscript[a, jk]) und (Subscript[b, j]) sind vorgegebene Zahlen. Wenn alle (Subscript[b, j]) gleich Null sind, nennt man das Gleichungssystem ein homogenes Gleichungssystem, ansonsten ein inhomogenes Gleichungssystem. Man kann ein System auch durch eine Koeffizientenmatrix A und durch die Erweiterte Matrix B ausdrücken.

A = (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})) ,  B = (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[b, 1])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[b, 2])}})).

Gauß'sches Eliminationsverfahren
Nicht alle linearen Gleichungssysteme haben eine Lösung und manche haben sogar mehrere Lösungen. Mit Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahren kann man nun versuchen das Gleichungsystem zu lösen. Ein Beispiel:

-(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) + 2(Subscript[x, 3])= 2
3(Subscript[x, 1]) - (Subscript[x, 2]) + (Subscript[x, 3])= 6
-(Subscript[x, 1]) + 3(Subscript[x, 2]) + 4(Subscript[x, 3])= 4

(({{-1, 1, 2, 2}, {3, -1, 1, 6}, {-1, 3, 4, 4}}))

Zuerst muß man (Subscript[x, 1])aus der 2. und 3. Gleichung eliminieren indem man eine jeweils entsprechende Linearkombination der 1. Gleichung addiert. Drei mal die Erste addiert zur  Zweiten und minus ein mal die Erste addiert zur Dritten ergibt

-(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) + 2(Subscript[x, 3])= 2
 2(Subscript[x, 2]) + 7(Subscript[x, 3])= 12
 2(Subscript[x, 2]) + 2(Subscript[x, 3])= 2,

(({{-1, 1, 2, 2}, {0, 2, 7, 12}, {0, 2, 2, 2}}))

Als Zweites muß man (Subscript[x, 2]) aus der 3. Gleichung eliminieren indem man eine passende Linearkombination der 2. Gleichung addiert.

-(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) + 2(Subscript[x, 3])= 2
 2(Subscript[x, 2]) + 7(Subscript[x, 3])= 12
 -5(Subscript[x, 3])= -10,

(({{-1, 1, 2, 2}, {0, 2, 7, 12}, {0, 0, -5, -10}}))

Es ergibt sich

(Subscript[x, 3])= 2;  (Subscript[x, 2])= -1;  (Subscript[x, 2])= 1.

Mit der 3. Gleichung beginnend kann man jetzt dieses Gleichungssystem lösen. Beim Lösen von anderen Gleichungssystemen kann mann nach demselben Schema vorgehen.

Existenz und Eigenschaften von Lösungen

(1) Homogene lineare Systeme:
	(a) Es existiert immer eine Lösung, nämlich die triviale, das heißt, daß 
	alle Variablen 0 sind.
	(b) Ist der Rang r der Koeffizientenmatrix A, kleiner als die Anzahl der
	Variablen n (rank(A) = r < n), so existieren nichttriviale Lösungen.

(2) Inhomogene lineare Systeme:
	(a) Eine Lösung eines linearen inhomogenen Gleichungssystems 
	existiert nur, wenn die Koeffizientenmatrix A den gleichen Rang r hat
	wie die erweiterte Matrix B.
	(b) Wenn der Rang r der Matrix A mit der Anzahl der Unbekannten n 	übereinstimmt, hat das Gleichungssystems genau eine Lösung. 
	(c) Wenn der Rang r kleiner als die Anzahl der Unbekannten n ist, gibt 	es unendlich viele Lösungen.

Wenn eine Lösung existiert, kann man sie mit Hilfe des Gauß'sches Eliminationsverfahrens bekommen.
In einem inhomogenen Gleichungsystem kann die Lösungsgesamtheit als Summe einer Lösung (Subscript[x, 0]) der inhomogenen Gleichung plus aller Lösungen des dazugehörigen homogenen Gleichungsystem dargestellt werden

x = (Subscript[x, 0])+ (Subscript[x, h]).

Beispiel 14: Lineare Gleichungssysteme mit Mathematica

Die Lösung von Gleichungssytemen ist auf mehrere Arten möglich.
Solve liefert alle Lösungen, LinearSolve nur eine spzielle  Lösung, die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus einer speziellen  Lösung und beliebigen Vektoren aus dem Kern der Matrix

Clear[x,b]

Solve[ {4 (Subscript[x, 1 ])+ b (Subscript[x, 2 ]) + 6 (Subscript[x, 3]) -6==0,
		             6 (Subscript[x, 1 ])+ 7 (Subscript[x, 2 ]) + 8 (Subscript[x, 3]) -9==0,
	               9 (Subscript[x, 1 ])+ 10 (Subscript[x, 2 ]) +12 (Subscript[x, 3]) -12==0},
	                                                                                    {(Subscript[x, 1 ]), (Subscript[x, 2 ]) , (Subscript[x, 3])}]

%/. b-> 6

RowReduce[(({{4, b, 6, 6}, {6, 7, 8, 9}, {9, 10, 12, 12}}))]

RowReduce[(({{1, 1, -1, -1}, {1, 2, 5, -1}, {2, 1, 3, 2}}))]

a=(({{0, 0, 1, 3, 3}, {1, 2, 1, 4, 3}, {1, 2, 2, 7, 6}, {2, 4, 1, 5, 3}}));

b=(({{2}, {3}, {5}, {4}}));

vx=(({{(Subscript[x, 1])}, {(Subscript[x, 2])}, {(Subscript[x, 3])}, {(Subscript[x, 4])}, {(Subscript[x, 5])}}));

x0= LinearSolve[a,b]

ker=NullSpace[a]

ker[[1]]

allgemeineLösung= x0 +(Subscript[λ, 1 ])ker[[1]]+(Subscript[λ, 2 ])ker[[2]]+(Subscript[λ, 3 ])ker[[3]]

Simplify[a . allgemeineLösung -b]

Solve[ a . vx==b,   {(Subscript[x, 1 ]), (Subscript[x, 2 ]) , (Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 5])}]

2.7 Die Inverse einer Matrix

Nicht alle Matrizen habe eine Inverses. Wenn eine Matrix eine Inverse besitzt wird sie als reguläre (nichtsinguläre) Matrix bezeichnet. Die Inverse einer Matrix A wird mit (A^(-1))bezeichnet. Es gilt

A (A^(-1)) = (A^(-1)) A = E.

Berechnung der inversen Matrix:
Man bringt das Gleichungsystem mit der Matrix A auf die Form:

A (Overscript[x, ->]) = E (Overscript[b, ->])

Durch ein verändertes Gauß'sches Eliminationsverfahrens, auch  Gauß-Jordan Eliminationsverfahren genannt, kann man es umformen:

E (Overscript[x, ->]) = (A^(-1)) (Overscript[b, ->])

Ein Beispiel:

A = (({{-1, 1, 2}, {3, -1, 1}, {-1, 3, 4}})) 

(({{-1, 1, 2}, {3, -1, 1}, {-1, 3, 4}})) (Overscript[x, ->]) = (({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}})) (Overscript[b, ->])

Man führt an der Matrix A das Gauß'sche Eliminationsverfahren durch und an der Einheitsmatrix die gleichen Rechenoperationen.

(({{-1, 1, 2}, {0, 2, 7}, {0, 2, 2}})) (Overscript[x, ->]) = (({{1, 0, 0}, {3, 1, 0}, {0, 0, 1}})) (Overscript[b, ->]) 

(({{-1, 1, 2}, {0, 2, 7}, {0, 0, -5}})) (Overscript[x, ->]) = (({{1, 0, 0}, {3, 1, 0}, {-4, -1, 1}})) (Overscript[b, ->])

Als nächstes eliminiert man die Koeffizienten oberhalb der Hauptdiagonale, sodaß links die Einheitsmatrix steht.

(({{1, -1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}})) (Overscript[x, ->]) = (({{3/5, 2/5, -2/5}, {-13/10, -2/10, 7/10}, {4/5, 1/5, -1/5}})) (Overscript[b, ->]) 

(({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}})) (Overscript[x, ->]) = (({{-7/10, 2/10, 3/10}, {-13/10, -2/10, 7/10}, {4/5, 1/5, -1/5}})) (Overscript[b, ->])

Die Matrix die jetzt rechts steht ist die Inverse der Matrix A.

Zusammenfassend kann man sagen, daß man

A (Overscript[x, ->]) = (Overscript[b, ->])              (=> (A^(-1))A (Overscript[x, ->]) = (A^(-1)) (Overscript[b, ->]))

zu umgeformt

(Overscript[x, ->]) = B (Overscript[ b, ->])

haben. Daher ist

B = (A^(-1)).

Beispiel 15: Inverse einer Matrix mit Mathematica

Clear[a,b,c,d]

ma=(({{a, b}, {c, d}}))

Inverse[ma]

Beispiel 16: Komplementäre Matrix mit Mathematica

kompl[x_]:= Inverse[x] Det[x]

kompl[ma]

Übung: Man berechne die komplementere Matrix durch direkte Anwendung der Definition aus dem Skriptum.

minor[j_,k_,mat_]:=Det[Transpose[Delete[Transpose[Delete[mat,j]],k]]]

kofactor[j_,k_,mat_]:= (-1)^(j+k) *minor[j,k,mat]

komplementareMatrix[mat_]:=Transpose[Table[kofactor[i,j,mat],{i,Length[mat]},{j,Length[mat]}]]

komplementareMatrix[ma]

2.8 Determinanten zweiter und dritter Ordnung

Determinanten zweiter Ordnung einer 2× 2 Matrix berechnet man, indem man die Komponenten der Hauptdiagonale miteinander multipliziert und die miteinander multiplizierten Komponenten der Nebendiagonale vom Ergebnis subtrahiert.

|({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})| = (Subscript[a, 11])(Subscript[a, 22])- (Subscript[a, 21])(Subscript[a, 12]).

Mit der Cramerschen Regel kann man die Lösungen von linearen Gleichungsystemen zweiter Ordnung wie folgt durch Determinanten ausdrücken.

(1)              (Subscript[x, 1])= ((Subscript[D, 1])/D), (Subscript[x, 2])= ((Subscript[D, 2])/D),		D ≠ 0.

(Subscript[D, 1])bekommt man, wenn man die erste Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor ersetzt (Overscript[b, ->]) ersetzt. (Subscript[D, 2]) bekommt man, wenn man die zweite Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor (Overscript[b, ->]) ersetzt

D = |({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})| ,  (Subscript[D, 1])= |({{(Subscript[b, 1]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[b, 2]), (Subscript[a, 22])}})| ,  (Subscript[D, 2])= |({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[b, 1])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[b, 2])}})| .

Beweis von (1):

(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})) (({{(Subscript[x, 1])}, {(Subscript[x, 2])}})) = (({{(Subscript[b, 1])}, {(Subscript[b, 2])}}))

(Subscript[a, 11]) (Subscript[x, 1]) + (Subscript[a, 12]) (Subscript[x, 2]) = (Subscript[b, 1])		| - (Subscript[a, 21])
(Subscript[a, 21]) (Subscript[x, 1]) + (Subscript[a, 22]) (Subscript[x, 2]) = (Subscript[b, 2])		| + (Subscript[a, 21])

( - (Subscript[a, 21]) (Subscript[a, 21])+ (Subscript[a, 11]) (Subscript[a, 22]) ) (Subscript[x, 2]) = -(Subscript[b, 1]) (Subscript[a, 21]) + (Subscript[b, 2]) (Subscript[a, 11]),

(Subscript[x, 2]) = (((Subscript[b, 2]) (Subscript[a, 11]) - (Subscript[b, 1]) (Subscript[a, 21]))/((Subscript[a, 11]) (Subscript[a, 22]) - (Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21]))) =  ((Subscript[D, 2])/D).

( (Subscript[a, 11]) (Subscript[a, 22]) - (Subscript[a, 21]) (Subscript[a, 12]) ) (Subscript[x, 1]) = (Subscript[b, 1]) (Subscript[a, 21]) - (Subscript[b, 2]) (Subscript[a, 12]),

(Subscript[x, 1]) = (((Subscript[b, 1]) (Subscript[a, 11]) - (Subscript[b, 2]) (Subscript[a, 21]))/((Subscript[a, 11]) (Subscript[a, 22]) - (Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21]))) = ((Subscript[D, 1])/D),	qed.

Zur Berechnung von Determinanten dritter Ordnung kann man die Regel von Sarrus benutzen. Zuerst fügt man die beiden ersten Spalten rechts noch einmal an. Dann bildet man die Summe der Produkte parallel der Hauptdiagonale und subtrahiert die Summe der Produkte parallel der Nebendiagonale.

|({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}})| ({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32])}}) 
= ((Subscript[a, 11])(Subscript[a, 22])(Subscript[a, 33]) + (Subscript[a, 12])(Subscript[a, 23])(Subscript[a, 31]) + (Subscript[a, 13])(Subscript[a, 21])(Subscript[a, 32]))
- ((Subscript[a, 13])(Subscript[a, 22])(Subscript[a, 31]) + (Subscript[a, 11])(Subscript[a, 23])(Subscript[a, 32]) + (Subscript[a, 12])(Subscript[a, 21])(Subscript[a, 33]))

Um ein lineares Gleichungsystem dritter Ordnung zu lösen, kann man wieder die Cramersche Regel benutzen. Der Beweis ist analog zum Fall n = 2.

(Subscript[x, 1]) = ((Subscript[D, 1])/D), (Subscript[x, 2]) = ((Subscript[D, 2])/D), (Subscript[x, 3]) = ((Subscript[D, 3])/D),		D≠0.

(Subscript[D, 2]) bekommt man, wenn man die erste Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor ersetzt (Overscript[b, ->]) ersetzt. (Subscript[D, 2]) bekommt man, wenn man die zweite Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor (Overscript[b, ->]) ersetzt. (Subscript[D, 3])bekommt man wenn man die dritte Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor (Overscript[b, ->]) ersetzt.

Wichtige Eigenschaften von Determinanten

(a) Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man ihre Reihen als 	Spalten in derselben Reihenfolge oder umgekehrt schreibt.
Beweis für 2×2 Matrizen (gilt analog für Matrizen höherer Ordnung).

A = (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})),

det A = |({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})| = (Subscript[a, 11]) (Subscript[a, 22]) - (Subscript[a, 21]) (Subscript[a, 12]),

det (A^T) = |({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 21])}, {(Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 22])}})| = (Subscript[a, 11]) (Subscript[a, 22]) - (Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21]) = det A,	qed.

(b) Wenn man zwei Spalten oder Reihen miteinander vertauscht, wird der Wert 	der Determinante mit -1 multipliziert. Beweis:

|({{(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}, {(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}})| = (Subscript[a, 21]) (Subscript[a, 22]) - (Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21]) = - det A,

|({{(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 11])}, {(Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 12])}})| = (Subscript[a, 21]) (Subscript[a, 22]) - (Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21]) = - det A,	qed.

Die Determinante zweiter Ordnung, die man erhält, wenn man eine Spalte und eine Reihe einer 3×3 Matrix löscht wird der Minor des Koeffizienten genannt der zu der gelöschten Reihe und der Spalte gehört.
Der Kofaktor eines Koeffizienten der i-ten Reihe und der k-ten Spalte wird mit (((-1))^(i+k))mal der Minor definiert.
Damit kann man eine Determinante dritter Ordnung ausdrücken durch:

D = (Subscript[a, 11])(Subscript[C, 11]) + (Subscript[a, 21])(Subscript[C, 21]) + (Subscript[a, 31])(Subscript[C, 31])
= (Subscript[a, 11])( (Subscript[a, 22])  (Subscript[a, 33]) -  (Subscript[a, 32]) (Subscript[a, 23])) -  (Subscript[a, 21])( (Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 33]) -  (Subscript[a, 32]) (Subscript[a, 13]))
+ (Subscript[a, 31])((Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 23]) -  (Subscript[a, 22]) (Subscript[a, 13])).

wobei  C der jeweilige Kofaktor ist. Diesen Vorgang nennt man "entwickeln'' einer Determinante.
(c) Eine Determinante kann man aus irgend einer ihrer Reihen oder Spalten errechnen, indem man jeden Koeffizienten mit seinem Kofaktor multipliziert und aufsummiert.

D = -(Subscript[a, 21])|({{(Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}})| + (Subscript[a, 22])|({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 33])}})| - (Subscript[a, 23])|({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32])}})|.

(d) Einen gemeinsamen Faktor der Koeffizienten einer Reihe oder Spalte kann man vor die Determinante herausheben. Dies sieht man unmittelbar, wenn man nur die Reihe oder Spalte entwickelt die den Faktor enthält.

|({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}})| = λ |({{(Subscript[a, 11]),  (Subscript[a, 12])/λ, (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])/λ, (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32])/λ, (Subscript[a, 33])}})| .

Dies sieht man sofort, wenn man nach der Reihe oder Spalte entwickelt die den Faktor enthält.

Aus (b) und (d) folgt unmittelbar:
(e) Wenn zwei Reihen oder Spalten proportional zueinander sind, ist der Wert der Determinante 0.
(f) Der Wert einer Determinante bleibt gleich, wenn man eine ihrer Reihen oder Spalten mit einem Skalar multipliziert und zu einer anderen addiert.

Beispiel 17: Determinanten mit Mathematica

Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}))]

Det[(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}}))]

2.9 Determinanten höherer Ordnung

Determinanten höherer Ordnug werden berechnet indem man sie "entwickelt", d.h. sie werden durch Determinaten von niederigerer Ordnung ausgedrückt. Gegeben sei eine  Determinante n-ter Ordnung d.h., eine Matrix mit n Reihen und n Spalten.

(({{(Subscript[a, 11]), ..., (Subscript[a, 1n])}, {:, ..., :}, {(Subscript[a, n1]), ..., (Subscript[a, nn])}}))

Die Determinante, die man erhält, wenn man die k-te Reihe und eine i-te Spalte löscht wird der Minor des Koeffizienten genannt der zu der gelöschten Reihen und der Spalte gehört. Er wird als (Subscript[M, ik]) angegeben.
Der Kofaktor eines Koeffizienten der i-ten Reihe und der k-ten Spalte wird mit (((-1))^(i+k))mal der Minor definiert. Er wird als (Subscript[C, ik]) angegeben.

(Subscript[C, ik]) = (((-1))^(i+k)) (Subscript[M, ik])

Beispiel 18: Minor und Kofaktor mit Mathematica

Clear[a,ma]

minor[j_,k_,mat_]:=Det[Transpose[Delete[Transpose[Delete[mat,j]],k]]]

kofactor[j_,k_,mat_]:= (-1)^(j+k) *minor[j,k,mat]

ma=(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}}))

minor[2,3,ma]

kofactor[2,3,ma]

Den Wert der Determinante einer n × n Matrix erhält man, wenn man irgend eine ihrer Reihen oder Spalten nimmt und jeden Koeffizienten mit seinem Kofaktor multipliziert und aufsummiert. Zum Beispiel

D = (Subscript[a, i1])(Subscript[C, i1]) + (Subscript[a, i2])(Subscript[C, i2]) + ... + (Subscript[a, in])(Subscript[C, in]).

Damit hat man die Determinante n-ter Ordnung durch eine Summe von Determinaten der Ordnung n-1 ausgedrückt. Dieser Vorgang wird nun solange wiederholt, bis man zu Determinaten erster bzw. zweiter Ordnung kommt.

Es gilt:
(a) Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man ihre Reihen als Spalten in derselben Reihenfolge oder umgekehrt schreibt (transponierte Matrix).
(b) Wenn man eine Reihe oder Spalte mir einem Faktor multipliziert, ist der Wert der folgenden Determinante gleich der Ausgangsdeterminante mal dem Faktor.

(c) Wenn alle Koeffizienten einer Reihe oder Spalte Null sind, ist der Wert der Determinante auch Null.
(d) Wenn man zwei Spalten oder Reihen miteinander vertauscht, wird der Wert der Determinante mit -1 multipliziert.
(e) Wenn zwei Reihen oder Spalten proportional zueinander sind, ist der Wert der Determinante 0.
(f) Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man ein konstantes vielfaches einer ihrer Reihen oder Spalten zu einer anderen addiert.
(g) Die Determinante des Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der zwei Matrizen.

det(AB) = det A det B.

Hinweis: Die Beweise dieser Aussagen sind trivial und analog zum Fall n = 2.

2.10 Ränge und Determinanten,
        Cramersche Regel

Man kann mit Hilfe von Determinanten den Rang einer Matrix bestimmen.
Eine Matrix A hat einen Rang r ≥ 1 genau dann, wenn A eine r × r -Untermatrix mit einer Determinante ungleich Null hat und es keine größere Untermatrix mit einer Determinante ungleich Null gibt.
Cramersche Regel
Wenn die Determinante D = det A eines linearen inhomogenen Systems von n Gleichungen mit n Unbekannten nicht Null ist, so hat dieses System genau eine Lösung. Sie ist gegeben durch:

(Subscript[x, 1]) = ((Subscript[D, 1])/D), (Subscript[x, 2]) = ((Subscript[D, 2])/D), ..., (Subscript[x, n]) = ((Subscript[D, n])/D).

Als Folge der Cramersche Regel kann man nun die Inverse einer Matrix ausrechen. Die Inverse einer regulären (n×n)-Matrix  A = ((Subscript[a, jk])) wird wie folgt berechnet:

(A^(-1)) = (1/(det A)) (({{(Subscript[A, 11]), ..., (Subscript[A, 1n])}, {:, ..., :}, {(Subscript[A, n1]), ..., (Subscript[A, nn])}}))

wobei (Subscript[A, jk]) der Kofaktor von (Subscript[a, jk]) ist. Wichtig ist  außerdem noch, daß der Kofaktor (Subscript[A, jk]) den Platz von  (Subscript[a, kj]) einnimmt.

Hinweis: Die Beweise dieser Aussagen sind trivial und analog zum Fall n = 2.

2.11 Bilineare, quadratische und
        Hermitesche Formen

Ein Ausdruck der Form

B = (∑_(j=1)^n)(∑_(k=1)^n)(Subscript[a, jk])(Subscript[x, j])(Subscript[y, k])

heißt bilineare Form in den 2n Variablen (Subscript[x, 1]), ..., (Subscript[x, n]) und (Subscript[y, 1]), ..., (Subscript[y, n]).

Ausgeschrieben erhält man

B =    (Subscript[a, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]) + ... + (Subscript[a, 1n])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, n])
	......................................
	+ (Subscript[a, n1])(Subscript[x, n])(Subscript[y, 1]) + ... + (Subscript[a, nn])(Subscript[x, n])(Subscript[y, n]).

Führt man die Vektoren (Overscript[x, ->]) = ((((Subscript[x, 1]), ..., (Subscript[x, n])))^T) und (Overscript[y, ->]) = ((((Subscript[y, 1]), ..., (Subscript[y, n])))^T) und die Koeffizientenmatrix A = ((Subscript[a, jk])) ein, so kann B in der Form

B = ((Overscript[x, ->])^T)A(Overscript[y, ->])

geschrieben werden.

Beispiel: Das Skalarprodukt kann als Bilinearform interpretiert werden, wobei A = 1 ist.

Eine spezielle Fall der bilinearen Form ist die quadratische Form. Sie tritt auf wenn (Overscript[y, ->]) = (Overscript[x, ->]) ist.

Q = (∑_(j = 1)^n) (∑_(k=1)^n) (Subscript[a, jk]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]),

Q = ((Overscript[x, ->])^T) A (Overscript[x, ->])

Gegeben sie eine Matrix A = ((Subscript[a, jk])), dann bezeichnet (OverBar[A]) die Matrix die man erhält, wenn man den Koeffizienten (Subscript[a, jk]) in A durch seinen komplex konjugiertes Wert (Subscript[(OverBar[a]), jk]) ersetzt. Wenn jetzt (A^T) = (OverBar[A]) ist, dann wird A eine hermitesche (symmetrische) Matrix genannt und die dazu gehörige Form heißt hermitesche Form.

H = ((((OverBar[x])))^T) A (Overscript[x, ->]),

Q = (∑_(j=1)^n) (∑_(k=1)^n) (Subscript[a, jk]) (Subscript[(OverBar[x]), j]) (Subscript[x, k]).

Für jede Wahl des Vektors (Overscript[x, ->]), ist der Wert der hermiteschen Form eine reelle Zahl.

(OverBar[Q]) = (OverBar[(∑_(j=1)^n) (∑_(k=1)^n)(Subscript[a, jk]) (Subscript[(OverBar[x]), j]) (Subscript[x, k])]) 
= (∑_(j=1)^n) (∑_(k=1)^n) (Subscript[(OverBar[a]), jk]) (Subscript[x, j]) (Subscript[(OverBar[x]), k])
= (∑_(j=1)^n) (∑_(k=1)^n) (Subscript[a, kj]) (Subscript[(OverBar[x]), k]) (Subscript[x, j]) = Q.

Wenn für eine Matrix (A^T) = -(OverBar[A]) gilt, dann wird sie schiefhermitesche (schiefsymmetrische) Matrix genannt.

S = ((((OverBar[x])))^T) A (Overscript[x, ->]),

Für jede Wahl des Vektors (Overscript[x, ->]), ist der Wert der schiefermitischen Form eine imaginäre Zahl oder Null.

(OverBar[S]) =(OverBar[(∑_(j=1)^n) (∑_(k=1)^n)(Subscript[a, jk]) (Subscript[(OverBar[x]), j]) (Subscript[x, k])])
              ↑
             - (Subscript[a, jk])
= (∑_(j=1)^n) (∑_(k=1)^n) -(Subscript[a, kj]) (Subscript[(OverBar[x]), k]) (Subscript[x, j]) = - S.

2.12 Eigenwerte und Eigenvektoren

Man betrachtet nun eine Matrix  A und die folgende Vektorgleichung an.

A (Overscript[x, ->]) = λ (Overscript[x, ->]).

Es ist klar, daß eine Lösung hier (Overscript[x, ->]) = 0 währe. Der Wert, den man für λ erhält, wenn (Overscript[x, ->]) ≠ 0 ist, heißt Eigenwert von A . Das dazugehörige (Overscript[x, ->]) wird Eigenvektor von A genannt. Die Menge aller Eigenwerte, die A haben kann, wird das Spektrum genannt. Der größte absolute Wert der Eigenwerte wird Spektralradius von A genannt.
Wenn (Overscript[x, ->]) irgend ein Vektor ist, so ist (Overscript[x, ->]) und A (Overscript[x, ->]) im allgemeinen linear unabhängig. Wenn (Overscript[x, ->]) aber ein Eigenvektor ist, dann ist (Overscript[x, ->]) und A (Overscript[x, ->]) linear abhängig und der Faktor der Proportionalität ist der Eigenwert λ.

Beispiel 19: Eigenwerte mit Mathematica

Eigenvalues[(({{a, b}, {c, d}}))]

Beispiel 20: Eigenvektoren mit Mathematica  ( c ≠ 0 )

Transpose[Eigenvectors[(({{a, b}, {c, d}}))]]

Geometrische Interpretation von Eigenvektoren:
Dazu betracht man

A (Overscript[x, ->]) = (Overscript[y, ->])

wobei A eine 2×2 Matrix ist. Interpretiert man den Vektor x = ((((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])))^T) als Punkt der Ebene, so erhält man durch die Anwendung von A auf (Overscript[x, ->]) wieder einen Punkt der Ebene y = ((((Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])))^T), der gegeben ist durch y = A (Overscript[x, ->]).
Das heißt, n×n Matrizen sind lineare Abbildung des (ℝ^n).
Betrachtet man die Vektoren (Overscript[x, ->]) und (Overscript[y, ->])  so haben diese im allgemeinen verschiedene Richtungen und Beträge.
Für Eigenvektoren gilt jedoch, daß (Overscript[x, ->]) und (Overscript[y, ->]) dieselbe Richtung haben.

2.13 Diagonalisierung von Matrizen

Einen Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn eine reguläre (d.h. invertierbare) Matrix T existiert, sodaß

T A  (T^(-1)) = D

eine Diagonalmatrix ist.
Es gilt: nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, aber
	(a) Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar.
	(b) Sind alle Eigenwerte von A verschieden, dann ist A ebenfalls 			diagonalisierbar.
Beispiel: Diagonalisiert man eine symmetrische Matrix erhält man

T S (T^(-1)) = (({{(Subscript[λ, 1]), 0}, {0, (Subscript[λ, 2])}})),
det(S) = det(T S (T^(-1)))  = (Subscript[λ, 1]) (Subscript[λ, 2]).

Beispiel 21: Diagonalisierung einer Matrix mit Mathematica

s=(({{2, 1, 1}, {1, 2, -1}, {1, -1, 2}}))

{t,d}=JordanDecomposition[s];

d

t

Transpose[Eigenvectors[s]]

t.d.Inverse[t]

Inverse[t]. s  . t

Achtung: Die JordanscheZerlegung liefert keine orthonormale Matrix T zur Diagonalisierung

tn=(({{-(1/(Sqrt[3])), (1/(Sqrt[2])), -(1/(Sqrt[6]))}, {(1/(Sqrt[3])), (1/(Sqrt[2])), (1/(Sqrt[6]))}, {(1/(Sqrt[3])), 0, -(2/(Sqrt[6]))}}));

Simplify[Inverse[tn]. s  . tn]

tn . Transpose[tn]

Ergänzung: Schmidtsches Orthogonalisierungsvervahren mit Beispiel im Vektorraum der Polynome

<<LinearAlgebra`Orthogonalization`

Simplify[Orthogonalize[{1,x,(x^2),(x^3),(x^4)},(∫_(-1)^1)#1 #2\[DifferentialD]x&,Method->"GramSchmidt"]]

Transpose[t]-t

Orthogonalize[t,Method->"GramSchmidt"]

2.14 Eigenwerte Hermitescher und 	unitärer Matrizen

Eine quadratische Matrix A = ((Subscript[a, jk])) wird unitäre Matrix genannt, wenn  folgendes gilt:

(OverBar[A])T = A-1.

Wenn diese unitäre Matrix aus reellen Koeffizienten besteht, ist es eine orthogonale Matrix für die gilt:

(A^T) = (A^(-1)).

Ein unitäres System ist ein System von Vektoren (Subscript[(Overscript[x, ->]), 1]), ..., (Subscript[(Overscript[x, ->]), n]) für die gilt

((Subscript[(OverBar[x]), j])^T)(Subscript[(Overscript[x, ->]), k]) = (Subscript[δ, jk]).

(Subscript[δ, jk]) kann Null oder Eins sein.
Wenn j und k ungleich sind, ist (Subscript[δ, jk])=0 und wenn  j gleich k ist, ist (Subscript[δ, jk])=1 .
Die Reihen- und Spaltenvektoren einer unitären Matrix formen ein unitäres System.

Für die Eigenwerte gilt:
(a) Die Eigenwerte hermitischer Formen sind reell.
(b) Die Eigenwerte schief hermitischer Formen sind entweder imaginär oder Null.
(c) Die Eigenwerte unitärer Matrizen haben den Betrag Eins.
(d) Die Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind reell.
(e) Die Eigenwerte schief symmetrischer Formen sind entweder imaginär oder Null.
(f) Die Eigenwerte orthogonaler Matrizen haben den Wert Eins und sind reell oder paarweise komplex konjugiert.

Anwendungen:
Quadratische Form zweiter Ordnung n = 2

Q = (({{x, y}})) (({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})) (({{x}, {y}})).

wobei man auf  A ist diagonal spezialisiert, d.h.

A = (({{(Subscript[λ, 1]), 0}, {0, (Subscript[λ, 2])}})),

Q(x,y) = (Subscript[λ, 1]) (x^2) + (Subscript[λ, 2]) (y^2).

Geometerisch kann Q(x,y) = F mit F=const. als Kurve 2. Ordnung interpretiert werden.
Folgende Fälle sind möglich:

(a) (Subscript[λ, 1]), (Subscript[λ, 2]) > 0,  F > 0			Ellipse 
(b) sgn (Subscript[λ, 1]) ≠ sgn  (Subscript[λ, 2]), F > 0		Hyperbel
(c) F = 0 oder (Subscript[λ, 1]) = 0 oder (Subscript[λ, 2]) = 0		degeneriert

Beispiel 22: Kurve 2. Ordnung mit Mathematica

<<Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlot[x^2 + 2 y^2 == 3, {x, -2, 2}]

ImplicitPlot[x^2 - x y+ 2 y^2 == 3, {x, -2, 2}]

ImplicitPlot[x^2 -2 y^2 == 3, {x, -2, 2}]

Die Quadratische Form Q(x,y,z) = (Subscript[λ, 1]) (x^2) + (Subscript[λ, 2]) (y^2) + (Subscript[λ, 3]) (z^2)kann als Fläche 2. Ordnung im Raum dargestellt werden.

Beispiel 23: Fläche zweiter Ordnung mit Mathematica

<<Graphics`ContourPlot3D`

ContourPlot3D[x^2 + 2 y^2 + 4 z^2- 4,
   {x,-2,2}, {y,-2,2}, {z,-1,1},
      Contours -> {.1}]

ContourPlot3D[x^2 + 2 y^2 - 4 z^2- 4,
   {x,-3,3}, {y,-2,2}, {z,-2,2},
      Contours ->  {1.5, 3.}]

Weitere Tipps:
Aus dem  Help-Menu:
Lists and matrices:
	List Operations
	Vector Operations
	Matrix Operations
	
Adds On -> Standard Packages ->  Linear Algebra

zum Beispiel:

Clear[a,b,c]

<<LinearAlgebra`MatrixManipulation`

a=(({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}, {5, 7, 9}}))

b=(({{1}, {2}, {3}, {3}}))

c=AppendRows[a, b]