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Auswertung eines Positronenlebensdauerspektrums

D. Camhy und H. Sormann
Multimediale Lehre

Einführung
Installation

Einführung

Theoretischer Hintergrund

Ein Positronen-Lebensdauer-Spektrometer misst die Zeitdifferenzen zwischen Start- und Stop-Impulsen, die die Geburt von Positronen bzw. deren Vernichtung (Annihilation) in Materie signalisieren. Das Ergebnis einer derartigen Messung, die eine Verteilung solcher Zeitdifferenzen bzgl. einer grossen Anzahl von Positronen darstellt, liegt in einem Vielkanal-Analysator (Multi-Channel-Analyzer MCA) abgespeichert vor. Ein solches Ensemble von (typischerweise einigen hundert) Kanal-Inhalten nennt man ein Positronenspektrum. In diesem Anwendungsbeispiel geht es um die numerische Auswertung von Positronenspektren unter Verwendung der Gauss-Newton-Marquardt-Methode. Die dafuer verwendete nicht-lineare Modellfunktion enthaelt als Fit-Parameter die Lebensdauern sowie die Intensitaeten der auftretenden Positronen-Zerfallsprozesse.

Least - Squares - Auswertung

Durch n gegebene Punkte

soll eine Kurve (Modellfunktion)

gelegt werden, die diese Punkte möglichst gut approximiert, wobei jedoch die auftretenden statistischen Meßunsicherheiten ausgeglichen werden sollen. Zusätzlich soll es noch möglich sein, den Einfluß der einzelnen Meßpunkte auf

durch die Gewichtsfaktoren

zu verändern. Da es sich bei dem vorliegenden Problem um ein typisches Zählexperiment handelt, müssen die Gewichtsfaktoren in konkreten Fall der Poisson-Statistik genügen.
Die obigen Forderungen an die Modellfunktion lassen sich mathematisch folgendermaßen formulieren:

ist die gewichtete Fehlersumme, ist der Gewichtsfaktor des k-ten Punktes, und ist die Modellfunktion mit den Modell- oder Fitparametern <br<

Die Modellfunktion

für ein Positronenlebensdauerspektrum hat folgende Gestalt:

mit

Es geht also darum, die gemessenen Kanalinhalte , unter Verwendung des Modells least-squares-mässig zu approximieren:

Die Modellparameter:
Die Modellfunktion besteht aus Zerfallstermen und enthält als zu optimierende (Fit-)Parameter die Intensitäten , die Positronen-Lebensdauern sowie den Untergrund .
Die in der Modellfunktion ebenfalls vorkommenden Größen , und sind keine Fit-Parameter, sondern ihre Werte sind durch die Meßapparatur festgelegt.