Das Einheitsquaternion

Aus Physik
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Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In der Abbildung sind ein Einheitsvektor \mathbf{n} und ein Winkel \theta dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel \theta.

Quaternion zur Beschreibung einer Rotation



Das Quaternion geht auf Hamilton zurueck und kann mathematisch als eine komplexe Zahl mit drei verschiedenen imaginaeren Anteilen behandelt werden:
\dot q = q_0 + \mathfrak{i}q_x + \mathfrak{j}q_y + \mathfrak{k}q_z mit \ q_0, q_x, q_y, q_z \in \mathbb{R}.

Bei gegebenem Einheitsvektor \mathbf{n}= (n_x, n_y, n_z)^T und Rotationswinkel \theta_n laesst sich das Einheitsquaternion berechnen durch: q_0 = \cos \frac{\theta_n}{2}
q_x = n_x \, \sin \frac{\theta_n}{2}
q_y = n_y \, \sin \frac{\theta_n}{2}
q_z = n_z \, \sin \frac{\theta_n}{2}.


Die Rotationsmatrix berechnet sich aus einem Einheitsquaternion \dot q wie folgt:
R = \begin{pmatrix} (q_0^2 + q_x^2 - q_y^2 - q_z^2) & 2(q_xq_y + q_zq_0) & 2(q_xq_z + q_yq_0) \\ 2(q_xq_y + q_zq_0) & (q_0^2 - q_x^2 + q_y^2 + q_z^2) & 2(q_yq_z - q_xq_0) \\
 2(q_zq_x - q_yq_0) & 2(q_zq_y + q_xq_0) & (q_0^2 - q_x^2 - q_y^2 + q_z^2) \end{pmatrix}

Die Verwendung des Einheitsquaternions zur Darstellung von Rotationen garantiert, dass die entsprechende Rotationsmatrix orthonormal ist.