RLC-Serienschwingkreis

Aus Physik
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Uebertragungsverhalten eines RLC-Serienresonanzkreis

Einleitung

Rlc.png
Ziel ist es das Uebertragungsverhalten eines RLC-Kreis darzustellen:
An einen Serienresonanzkreis wird ein periodisches Spannungssignal angelegt, wie sieht die Ausgangsspannung am Widerstand aus?

Hierzu wurden 2 verschieden Moeglichkeiten implementiert

  1. Fourierzerlegung - Uebertragungsfunktion:
    Das Signal kann in seine Sinuskomponenten zerlegt, das Problem im Frequenzbereich geloest und fuer die Darstellung in den Zeitbereich transformiert werden
  2. Simulation der Differentialgleichung:
    Die Differentialgleichung fuer einen Schwingkreis muss aufgestellt und mit Simulink simuliert werden.

Fourierzerlegung - Uebertragungsfunktion

Benutzeroberflaeche

Oberflaeche small.png
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  1. Einstellen der Periodendauer
  2. Einstellen der Maximalspannung der Spannungsquelle
  3. Hier kann man die Anzahl der Fourierkoeffizienten einstellen, die berechnet werden (max 200)
  4. Popupmenue zum einstellen der gewuenschten Signalform
  5. Popupmenue zum auswaehlen der Integrationsmethode bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten
  6. Bauteilwerte des RLC Schwingkreises
  7. Errechnete Kreisfrequenz der Grundwelle des Sapnnungssignals und Resonanzkreisfrequenz des Serienschingkreises
  8. Spannungsverlauf der Spannungsquelle
  9. Spannungsverlauf am Widerstand
  10. Uerbertragungsfunktion: Verstaerkung und Phasenverschiebung in Abhaengigkeit von der Kreisfrequenz
  11. Berechnen der Signale

Fourierzerlegung

Als erster Schritt muss das Signal wenn es nicht-sinusfoermig ist mittels Fourier-Reihe angenaehert werden:

u_q(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{i=1}^N(a_n\cos(n \omega_0 t)+b_n\sin(n \omega_0 t))
Kreisfrequenz der Grundwelle...\omega_0 = \frac{2\pi}{\tau}
a_0 = \frac{1}{\tau} \cdot \int_0^{\tau}u_q(t)dt

b_n = \frac{1}{\tau} \cdot \int_0^{\tau}uq(t)\cdot \sin(n\cdot t)dt

da es sich bei unseren Signalen nur um ungerade Funktionen handelt die keinen Gleichanteil besitzen, muessen wir nur b_n bestimmen, a_n sowie a_0 sollten 0 sein. Die Fourierkoeffizienten werden mittels numerischer-Integration errechnet

Uebertragungsfunktion

Nun muss noch die Uebertragunsfunktion F\left( j\omega\right) aufgestellt werden:

Die Gesamtimpedanz der Schaltung ist: Z_{ges} = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}

Die Spannung am Widerstand kann mittels Spannungsteiler errechnet werden: U_a = U_q \cdot \frac{R}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}

Dies ergibt die Uebertragungsfunktion:
F(j\omega ) = \frac{U_a}{Ue} = \frac{R}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}

Nun kann fuer alle Kreisfrequenzen des Fourier zerlegeten Signals die Verstaerkung und Phasenverschiebung errechnet werden:

Verstaerkung : k_n = |F(j\cdot n \cdot \omega_0)|
Phasenverschiebung : \phi_n = Arg(F(j\cdot n \cdot \omega_0))

Das Signal am Widerstand ergibt sich somit zu:

u_q(t) = \sum_{i=1}^N(k_n\cdot b_n\cdot \sin(\omega_0\cdot n \cdot t + \phi_n))

Simulation der Differentialgleichung:

Strom - Spannungsbeziehung fuer einen ohmschen Widerstand eine Induktivitaet und einen Kondensator
u(t) = R\cdot i(t)

u(t) = L \frac{di(t)}{dt}

i(t) = C \frac{du(t)}{dt}

Aufstellen der DGL:
u_R + u_L + u_C = u_q

i_L = i_C

u_L = L\cdot\frac{di_C}{dt} = LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2}
u_R = R\cdot i_C = RC \frac{du_C}{dt}

\Rightarrow LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = u_q

\Rightarrow \frac{d^2u_C}{dt^2}+ \frac{R}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = \frac{1}{LC} uq

Nachdem dies DGL ermittelt worden ist kann sie in Simulink modelliert und simuliert werden:
Simulinkmodell eines RLC-Sereinresonanzkreis