RLC-Serienschwingkreis: Unterschied zwischen den Versionen
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=Uebertragungsverhalten eines RLC-Serienresonanzkreis= |
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Das ist eine Formel: |
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==Einleitung== |
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Ziel ist es das Uebertragungsverhalten eines RLC-Kreis darzustellen:<br> |
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An einen Serienresonanzkreis wird ein periodisches Spannungssignal angelegt, wie sieht die Ausgangsspannung am Widerstand aus?<br> |
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Hierzu wurden 2 verschieden Moeglichkeiten implementiert<br> |
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#Fourierzerlegung - Uebertragungsfunktion:<br> Das Signal kann in seine Sinuskomponenten zerlegt, das Problem im Frequenzbereich geloest und fuer die Darstellung in den Zeitbereich transformiert werden |
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\alpha^2 = \int_0^5 dx \sin(x) |
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#Simulation der Differentialgleichung:<br> Die Differentialgleichung fuer einen Schwingkreis muss aufgestellt und mit Simulink simuliert werden.<br> |
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== Fourierzerlegung - Uebertragungsfunktion == |
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a = 5 |
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=== Benutzeroberflaeche === |
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b = 3 |
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c = a + b |
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# Einstellen der Periodendauer |
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# Einstellen der Maximalspannung der Spannungsquelle |
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# Hier kann man die Anzahl der Fourierkoeffizienten einstellen, die berechnet werden (max 200) |
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# Popupmenue zum einstellen der gewuenschten Signalform |
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# Popupmenue zum auswaehlen der Integrationsmethode bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten |
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# Bauteilwerte des RLC Schwingkreises |
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# Errechnete Kreisfrequenz der Grundwelle des Sapnnungssignals und Resonanzkreisfrequenz des Serienschingkreises |
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# Spannungsverlauf der Spannungsquelle |
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# Spannungsverlauf am Widerstand |
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# Uerbertragungsfunktion: Verstaerkung und Phasenverschiebung in Abhaengigkeit von der Kreisfrequenz |
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# Berechnen der Signale |
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=== Fourierzerlegung === |
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Als erster Schritt muss das Signal wenn es nicht-sinusfoermig ist mittels Fourier-Reihe angenaehert werden:<br><br> |
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<math>u_q(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{i=1}^N(a_n\cos(n \omega_0 t)+b_n\sin(n \omega_0 t))</math><br> |
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Kreisfrequenz der Grundwelle...<math>\omega_0 = \frac{2\pi}{\tau}</math><br> |
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<math>a_0 = \frac{1}{\tau} \cdot \int_0^{\tau}u_q(t)dt</math><br> |
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<math>b_n = \frac{1}{\tau} \cdot \int_0^{\tau}uq(t)\cdot \sin(n\cdot t)dt</math> |
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da es sich bei unseren Signalen nur um ungerade Funktionen handelt die keinen Gleichanteil besitzen, muessen wir nur <math>b_n</math> bestimmen, |
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<math>a_n</math> sowie <math>a_0</math> sollten 0 sein. Die Fourierkoeffizienten werden mittels numerischer-Integration errechnet<br><br> |
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=== Uebertragungsfunktion === |
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Nun muss noch die Uebertragunsfunktion <math>F\left( j\omega\right)</math> aufgestellt werden:<br> |
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Die Gesamtimpedanz der Schaltung ist: |
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<math>Z_{ges} = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}</math> |
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Die Spannung am Widerstand kann mittels Spannungsteiler errechnet werden: |
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<math>U_a = U_q \cdot \frac{R}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}</math> |
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Dies ergibt die Uebertragungsfunktion:<br> |
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<math>F(j\omega ) = \frac{U_a}{Ue} = \frac{R}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}</math><br><br> |
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Nun kann fuer alle Kreisfrequenzen des Fourier zerlegeten Signals die Verstaerkung und Phasenverschiebung errechnet werden:<br> |
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Verstaerkung :<math> k_n = |F(j\cdot n \cdot \omega_0)|</math><br> |
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Phasenverschiebung : <math>\phi_n = Arg(F(j\cdot n \cdot \omega_0))</math> |
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Das Signal am Widerstand ergibt sich somit zu:<br> |
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<math>u_q(t) = \sum_{i=1}^N(k_n\cdot b_n\cdot \sin(\omega_0\cdot n \cdot t + \phi_n))</math> |
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==Simulation der Differentialgleichung: == |
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Strom - Spannungsbeziehung fuer einen ohmschen Widerstand eine Induktivitaet und einen Kondensator<br> |
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<math>u(t) = R\cdot i(t)</math> <br><br> |
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<math>u(t) = L \frac{di(t)}{dt}</math><br><br> |
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<math>i(t) = C \frac{du(t)}{dt}</math><br><br> |
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Aufstellen der DGL:<br> |
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<math>u_R + u_L + u_C = u_q</math><br> |
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<math>i_L = i_C</math><br> |
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<math>u_L = L\cdot\frac{di_C}{dt} = LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2}</math><br> |
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<math>u_R = R\cdot i_C = RC \frac{du_C}{dt}</math><br><br> |
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<math>\Rightarrow LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = u_q</math><br><br> |
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<math>\Rightarrow \frac{d^2u_C}{dt^2}+ \frac{R}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = \frac{1}{LC} uq</math> |
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Nachdem dies DGL ermittelt worden ist kann sie in Simulink modelliert und simuliert werden:<br> |
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[[Image:Rlc_simulink.png|Simulinkmodell eines RLC-Sereinresonanzkreis]]<br> |
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Aktuelle Version vom 21. März 2005, 08:35 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Uebertragungsverhalten eines RLC-Serienresonanzkreis
Einleitung
Ziel ist es das Uebertragungsverhalten eines RLC-Kreis darzustellen:
An einen Serienresonanzkreis wird ein periodisches Spannungssignal angelegt, wie sieht die Ausgangsspannung am Widerstand aus?
Hierzu wurden 2 verschieden Moeglichkeiten implementiert
- Fourierzerlegung - Uebertragungsfunktion:
Das Signal kann in seine Sinuskomponenten zerlegt, das Problem im Frequenzbereich geloest und fuer die Darstellung in den Zeitbereich transformiert werden - Simulation der Differentialgleichung:
Die Differentialgleichung fuer einen Schwingkreis muss aufgestellt und mit Simulink simuliert werden.
Fourierzerlegung - Uebertragungsfunktion
Benutzeroberflaeche
Benutzeroberflache vergroessern
- Einstellen der Periodendauer
- Einstellen der Maximalspannung der Spannungsquelle
- Hier kann man die Anzahl der Fourierkoeffizienten einstellen, die berechnet werden (max 200)
- Popupmenue zum einstellen der gewuenschten Signalform
- Popupmenue zum auswaehlen der Integrationsmethode bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten
- Bauteilwerte des RLC Schwingkreises
- Errechnete Kreisfrequenz der Grundwelle des Sapnnungssignals und Resonanzkreisfrequenz des Serienschingkreises
- Spannungsverlauf der Spannungsquelle
- Spannungsverlauf am Widerstand
- Uerbertragungsfunktion: Verstaerkung und Phasenverschiebung in Abhaengigkeit von der Kreisfrequenz
- Berechnen der Signale
Fourierzerlegung
Als erster Schritt muss das Signal wenn es nicht-sinusfoermig ist mittels Fourier-Reihe angenaehert werden:
[math]u_q(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{i=1}^N(a_n\cos(n \omega_0 t)+b_n\sin(n \omega_0 t))[/math]
Kreisfrequenz der Grundwelle...[math]\omega_0 = \frac{2\pi}{\tau}[/math]
[math]a_0 = \frac{1}{\tau} \cdot \int_0^{\tau}u_q(t)dt[/math]
[math]b_n = \frac{1}{\tau} \cdot \int_0^{\tau}uq(t)\cdot \sin(n\cdot t)dt[/math]
da es sich bei unseren Signalen nur um ungerade Funktionen handelt die keinen Gleichanteil besitzen, muessen wir nur [math]b_n[/math] bestimmen,
[math]a_n[/math] sowie [math]a_0[/math] sollten 0 sein. Die Fourierkoeffizienten werden mittels numerischer-Integration errechnet
Uebertragungsfunktion
Nun muss noch die Uebertragunsfunktion [math]F\left( j\omega\right)[/math] aufgestellt werden:
Die Gesamtimpedanz der Schaltung ist: [math]Z_{ges} = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}[/math]
Die Spannung am Widerstand kann mittels Spannungsteiler errechnet werden: [math]U_a = U_q \cdot \frac{R}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}[/math]
Dies ergibt die Uebertragungsfunktion:
[math]F(j\omega ) = \frac{U_a}{Ue} = \frac{R}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}[/math]
Nun kann fuer alle Kreisfrequenzen des Fourier zerlegeten Signals die Verstaerkung und Phasenverschiebung errechnet werden:
Verstaerkung :[math] k_n = |F(j\cdot n \cdot \omega_0)|[/math]
Phasenverschiebung : [math]\phi_n = Arg(F(j\cdot n \cdot \omega_0))[/math]
Das Signal am Widerstand ergibt sich somit zu:
[math]u_q(t) = \sum_{i=1}^N(k_n\cdot b_n\cdot \sin(\omega_0\cdot n \cdot t + \phi_n))[/math]
Simulation der Differentialgleichung:
Strom - Spannungsbeziehung fuer einen ohmschen Widerstand eine Induktivitaet und einen Kondensator
[math]u(t) = R\cdot i(t)[/math]
[math]u(t) = L \frac{di(t)}{dt}[/math]
[math]i(t) = C \frac{du(t)}{dt}[/math]
Aufstellen der DGL:
[math]u_R + u_L + u_C = u_q[/math]
[math]i_L = i_C[/math]
[math]u_L = L\cdot\frac{di_C}{dt} = LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2}[/math]
[math]u_R = R\cdot i_C = RC \frac{du_C}{dt}[/math]
[math]\Rightarrow LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = u_q[/math]
[math]\Rightarrow \frac{d^2u_C}{dt^2}+ \frac{R}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = \frac{1}{LC} uq[/math]
Nachdem dies DGL ermittelt worden ist kann sie in Simulink modelliert und simuliert werden: