Simulation unseres Sonnensystems: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Teilbeschleunigungen, die ein Planet durch die Gravitationsfelder aller anderen Planeten erfährt, werden mit Hilfe des '''NEWTONschen Gravitationsgesetz''', das die Anziehungskraft zweier Massepunkte bzw. zweier homogenen Kugeln, wie es Planeten in diesem Modell näherungsweise sind, berechnet:<br><br> |
Die Teilbeschleunigungen, die ein Planet durch die Gravitationsfelder aller anderen Planeten erfährt, werden mit Hilfe des '''NEWTONschen Gravitationsgesetz''', das die Anziehungskraft zweier Massepunkte bzw. zweier homogenen Kugeln, wie es Planeten in diesem Modell näherungsweise sind, berechnet:<br><br> |
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<math>\vec F_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_nm_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} </math> und <math>\vec F_n\;=\;m_n\vec a_n </math> <math>\Longrightarrow \vec a_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} </math> <br><br> |
<math>\vec F_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_nm_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} </math> und <math>\vec F_n\;=\;m_n\vec a_n </math> <math>\Longrightarrow \vec a_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} </math> <br><br> |
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<math>\vec F_n\;\cdots\; \mbox{Gravitationskraft, die auf Planeten n wirkt}</math><br> |
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<br><br>Um zur Gesamtbeschleunigung zu gelangen werden alle Teilbeschleunigungen vektoriell addiert: |
<br><br>Um zur Gesamtbeschleunigung zu gelangen werden alle Teilbeschleunigungen vektoriell addiert: |
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<math>a_{ges}\;=\;a_1\;+\;a_2\;+\;\cdots\;+\;a_n</math> |
<math>a_{ges}\;=\;a_1\;+\;a_2\;+\;\cdots\;+\;a_n</math> |
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== Projektrealisierung == |
== Projektrealisierung == |
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Die Lösung des Differenzialgleichungssystem wird mithilfe des Solvers ode23 durchgeführt, da dieser geringere Toleranzwerte besitzt als ode45.<br> |
Die Lösung des Differenzialgleichungssystem wird mithilfe des Solvers ode23 durchgeführt, da dieser geringere Toleranzwerte besitzt als ode45.<br> |
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Die Zeit, die in der Simulation zwischen zwei dargestellten Frames vergeht beträgt <math>10^6\ |
Die Zeit, die in der Simulation zwischen zwei dargestellten Frames vergeht beträgt <math>10^6\,</math> Sekunden (<math>\approx\,11,5</math> Tage). Außerdem ist es möglich das System auf eine beliebige Anzahl von Planeten zu erweitern oder zu reduzieren in dem man die Konfigurationsdatei überarbeitet.<br> |
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Die Darstellelung kann entweder in drei oder in zwei Dimensionen erfolgen.<br><br> |
Die Darstellelung kann entweder in drei oder in zwei Dimensionen erfolgen.<br><br> |
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== Ergebnisse == |
== Ergebnisse == |
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<td>In nebenstehender Abbildung ist das Ergebnis der Simulation in 2D zu sehen. Die Sonne hat den Startpunkt (x=0,y=0,z=0). Jedoch behält sie diesen über längere Zeit gesehen nicht exakt bei, da sie auch von den anderen Planeten, wenn auch aufgrund der weit größeren Masse nicht gravierend, angezogen wird. </td> |
<td>In nebenstehender Abbildung ist das Ergebnis der Simulation in 2D zu sehen. Die Sonne hat den Startpunkt (<math>x\,=\,0,\,y\,=\,0,\,z\,=\,0</math>). Jedoch behält sie diesen über längere Zeit gesehen nicht exakt bei, da sie auch von den anderen Planeten, wenn auch aufgrund der weit größeren Masse nicht gravierend, angezogen wird. </td> |
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<td>[[Image:interface.jpg|thumb|Ergebnis der Simulation unseres Sonnensystems]]</td> |
<td>[[Image:interface.jpg|thumb|Ergebnis der Simulation unseres Sonnensystems]]</td> |
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Version vom 17. März 2005, 18:39 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Projektdefinition
Projektentwurf
Physikalische Grundlagen
Damit die Planetenumlaufbahnen berechnet werden können, muss folgendes Differenzialgleichungssysem gelöst werden
Anfangsbedingungen:
- Startposition von n Planeten ([math]\vec r_1,\;\vec r_2,\;\cdots\;\vec r_n[/math])
- Startgeschwindigkeiten von n Planeten ([math]\vec v_1,\;\vec v_2,\;\cdots\;\vec v_n[/math])
Differenzialgleichungen:
Geschwindigkeiten
[math]\vec \dot{r_1}\;=\;\vec v_1[/math]
[math]\vec \dot{r_2}\;=\;\vec v_2[/math]
[math]\cdots\;[/math]
[math]\vec \dot{r_n}\;=\;\vec v_n[/math]
Beschleunigungen
[math]\vec \dot{v_1}\;=\;\vec a_1[/math]
[math]\vec \dot{v_2}\;=\;\vec a_2[/math]
[math]\cdots\;[/math]
[math]\vec \dot{v_n}\;=\;\vec a_n[/math]
Die Teilbeschleunigungen, die ein Planet durch die Gravitationsfelder aller anderen Planeten erfährt, werden mit Hilfe des NEWTONschen Gravitationsgesetz, das die Anziehungskraft zweier Massepunkte bzw. zweier homogenen Kugeln, wie es Planeten in diesem Modell näherungsweise sind, berechnet:
[math]\vec F_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_nm_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} [/math] und [math]\vec F_n\;=\;m_n\vec a_n [/math] [math]\Longrightarrow \vec a_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} [/math]
[math]\vec F_n\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Gravitationskraft, die auf Planeten n wirkt}\;[/math] |
[math]m_n\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Masse des Planeten n}\;[/math] |
[math]m_2\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Masse des weiteren Planeten zu dem die Gravitationskraft gerichtet ist}\;[/math] |
[math]r\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Abstand der beiden Planeten}\;[/math] |
[math]\vec a_n\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Gravitationsbeschleunigung des Planeten n}\;[/math] |
[math]\gamma\;=\;6.67\;10^{-11}\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Gravitationskonstante}\;[/math] |
Um zur Gesamtbeschleunigung zu gelangen werden alle Teilbeschleunigungen vektoriell addiert:
[math]a_{ges}\;=\;a_1\;+\;a_2\;+\;\cdots\;+\;a_n[/math]
Sequenzdiagramme nach UML
Das Sequenzdiagramm zeigt schematisch den Ablauf des Systems. Grundsätzlich ist das Sequenzdiagramm der objektorientierten Programmierung vorbehalten, doch auch in der strukturierten Programmierung kann man dadurch ausgezeichnete Einblicke in das System erlangen. Das Sequenzdiagramm beschreibt in der Horizontalen die Funktionen, die aufgerufen werden, die Vertikale repräsentiert die Zeit. |
Projektrealisierung
Die Lösung des Differenzialgleichungssystem wird mithilfe des Solvers ode23 durchgeführt, da dieser geringere Toleranzwerte besitzt als ode45.
Die Zeit, die in der Simulation zwischen zwei dargestellten Frames vergeht beträgt [math]10^6\,[/math] Sekunden ([math]\approx\,11,5[/math] Tage). Außerdem ist es möglich das System auf eine beliebige Anzahl von Planeten zu erweitern oder zu reduzieren in dem man die Konfigurationsdatei überarbeitet.
Die Darstellelung kann entweder in drei oder in zwei Dimensionen erfolgen.
Ergebnisse
In nebenstehender Abbildung ist das Ergebnis der Simulation in 2D zu sehen. Die Sonne hat den Startpunkt ([math]x\,=\,0,\,y\,=\,0,\,z\,=\,0[/math]). Jedoch behält sie diesen über längere Zeit gesehen nicht exakt bei, da sie auch von den anderen Planeten, wenn auch aufgrund der weit größeren Masse nicht gravierend, angezogen wird. |
Kontakt
Für Fragen oder Anregungen stehe ich gerne zur Verfügung (knami)