Simulation unseres Sonnensystems: Unterschied zwischen den Versionen
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<LI>Startgeschwindigkeiten von n Planeten (<math>\vec v_1,\;\vec v_2,\;\cdots\;\vec v_n</math>)</LI> |
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Die Anfangsbedingungen wurden mit Hilfe von [http://www.wikipedia.org Wikipedia] und der Astronomiesoftware [http://www.easysky.de/ Easysky] eruiert.<br><br> |
Die Anfangsbedingungen wurden mit Hilfe von [http://www.wikipedia.org Wikipedia] und der Astronomiesoftware [http://www.easysky.de/ Easysky] eruiert. Simulationsstart ist am 2000-01-01 um 00:00 CMT.<br><br> |
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==== Differentialgleichungen: ==== |
==== Differentialgleichungen: ==== |
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<br><br>Um zur Gesamtbeschleunigung zu gelangen, werden alle Teilbeschleunigungen vektoriell addiert: |
<br><br>Um zur Gesamtbeschleunigung zu gelangen, werden alle Teilbeschleunigungen vektoriell addiert: |
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<math>a_{ges}\;=\;a_1\;+\;a_2\;+\;\cdots\;+\;a_n</math> |
<math>\vec a_{ges}\;=\;\vec a_1\;+\;\vec a_2\;+\;\cdots\;+\;\vec a_n</math> |
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=== Sequenzdiagramme nach UML === |
=== Sequenzdiagramme nach UML === |
Version vom 18. März 2005, 07:51 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Projektdefinition
Projektentwurf
Physikalische Grundlagen
Damit die Planetenumlaufbahnen berechnet werden können, muss folgendes Differentialgleichungssystem gelöst werden.
Anfangsbedingungen:
- Startposition von n Planeten ([math]\vec r_1,\;\vec r_2,\;\cdots\;\vec r_n[/math])
- Startgeschwindigkeiten von n Planeten ([math]\vec v_1,\;\vec v_2,\;\cdots\;\vec v_n[/math])
Die Anfangsbedingungen wurden mit Hilfe von Wikipedia und der Astronomiesoftware Easysky eruiert. Simulationsstart ist am 2000-01-01 um 00:00 CMT.
Differentialgleichungen:
Geschwindigkeiten
[math]\vec \dot{r_1}\;=\;\vec v_1[/math]
[math]\vec \dot{r_2}\;=\;\vec v_2[/math]
[math]\cdots\;[/math]
[math]\vec \dot{r_n}\;=\;\vec v_n[/math]
Beschleunigungen
[math]\vec \dot{v_1}\;=\;\vec a_1[/math]
[math]\vec \dot{v_2}\;=\;\vec a_2[/math]
[math]\cdots\;[/math]
[math]\vec \dot{v_n}\;=\;\vec a_n[/math]
Die Teilbeschleunigungen, die ein Planet durch die Gravitationsfelder aller anderen Planeten erfährt, werden mit Hilfe des NEWTONschen Gravitationsgesetzes, das die Anziehungskraft zweier Massepunkte bzw. zweier homogener Kugeln, wie es Planeten in diesem Modell näherungsweise sind, berechnet:
[math]\vec F_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_nm_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} [/math] und [math]\vec F_n\;=\;m_n\vec a_n [/math] [math]\Longrightarrow \vec a_n\;=\;-\gamma\;\frac{m_2}{r^2}\frac{\vec r}{\begin{Vmatrix} r \end{Vmatrix}} [/math]
[math]\vec F_n\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Gravitationskraft, die auf Planeten }n\mbox{ wirkt}\;[/math] |
[math]m_n\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Masse des Planeten }n\;[/math] |
[math]m_2\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Masse des weiteren Planeten zu dem die Gravitationskraft gerichtet ist}\;[/math] |
[math]r\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Abstand der beiden Planeten}\;[/math] |
[math]\vec a_n\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Gravitationsbeschleunigung des Planeten }n\;[/math] |
[math]\gamma\;=\;6.67\;10^{-11}\;[/math] | [math]\cdots\;[/math] | [math]\mbox{Gravitationskonstante}\;[/math] |
Um zur Gesamtbeschleunigung zu gelangen, werden alle Teilbeschleunigungen vektoriell addiert:
[math]\vec a_{ges}\;=\;\vec a_1\;+\;\vec a_2\;+\;\cdots\;+\;\vec a_n[/math]
Sequenzdiagramme nach UML
Das Sequenzdiagramm zeigt schematisch den Ablauf des Systems. Grundsätzlich ist das Sequenzdiagramm der objektorientierten Programmierung vorbehalten, doch auch in der strukturierten Programmierung kann man dadurch ausgezeichnete Einblicke in das System erlangen. Das Sequenzdiagramm beschreibt in der Horizontalen die Funktionen, die aufgerufen werden, die Vertikale repräsentiert die Zeit. |
Projektrealisierung
Die Lösung des Differentialgleichungssystem wird mit Hilfe des Solvers ode23 durchgeführt, da dieser geringere Toleranzwerte besitzt als ode45.
Die Zeit, die in der Simulation zwischen zwei dargestellten Frames vergeht, beträgt [math]10^6\,[/math] Sekunden ([math]\approx\,11,5[/math] Tage). Außerdem ist es möglich das System auf eine beliebige Anzahl von Planeten zu erweitern oder zu reduzieren, in dem man die Konfigurationsdatei überarbeitet.
Die Darstellelung kann entweder in drei oder in zwei Dimensionen erfolgen.
Ergebnisse
In nebenstehender Abbildung ist das Ergebnis der Simulation in 2D zu sehen. Die Sonne hat den Startpunkt [math](x\,=\,0,\,y\,=\,0,\,z\,=\,0)[/math]. Jedoch behält sie diesen über längere Zeit gesehen nicht exakt bei, da sie auch von den anderen Planeten - wenn auch auf Grund der weit größeren Masse nicht gravierend - angezogen wird. |
Kontakt
Für Fragen oder Anregungen stehe ich gerne zur Verfügung (knami)