8.1 Grundlagen

se:polynome_grundlagen

In MATLAB werden Polynome durch ihren Koeffizientenvektor repräsentiert, d.h. der Vektor p=[p1,p2,...,pn] stellt das Polynom,

$$p_{1}x^{n-1} + p_{2}x^{n-2} + p_{3}x^{n-3} + \dots + p_{n} \; ,$$ (8.1)

dar. Für ein Polynom vom Grad $n-1$ braucht man daher einen Vektor der Länge $n$. Für die Auswertung ein solchen Polynoms für verschiedene Werte von $x$,

$$y_{i}=p_{1}x_{i}^{n-1}+p_{2}x_{i}^{n-2}+p_{3}x_{i}^{n-3} +\dots +p_{n} \; ,$$ (8.2)

stellt MATLAB die Funktion y=polyval(p,x) zur Verfügung. Die Variable $x$ kann dabei ein Skalar, ein Vektor, bzw. eine Matrix sein, $y$ hat dann immmer die gleiche Größe wie $x$.

Will man also z.B. das Polynom

$$y_{i}= x_{i}^{3}+ 2 x_{i}^{2}+ x_{i} + 3 \; ,$$ (8.3)

darstellen, kann man Folgendes tun:

 p = [1,2,1,3];
 x = linspace(-2,2,30); y = polyval(p,x);
 plot(x,y,'b');

Die Auswertung erfolgt natürlich mit dem Horner-Schema, das hier am Beispiel eines Polynomes dritten Grades demonstriert wird,

$$y_{i} = \left( \left( p_{1} x + p_{2} \right) x + p_{3} \right) x + p_{4}\;,$$ (8.4)

wobei die Anzahl der Multiplikationen pro $x$-Wert von $m(m+1)/2$ auf $m$ reduziert wird, die Anzahl der Additionen bleibt mit $m$ gleich. Daraus folgt, dass das Horner-Schema viel effizienter ist.

Es gibt auch eine Auswertung für $n \times n$ Matrizen, polyvalm, wobei alle Multiplikationen als Matrixmultiplikationen aufgefasst werden.