8.2 Nullstellen und charakteristische Polynome

se:polynome_nullstellen

Die Nullstellen eines Polynoms können mit dem Befehl r=roots(p) gefunden werden. Umgekehrt erzeugt der Befehl p=poly(r) das Polynom p, wenn r ein Vektor von Nullstellen ist. Für Vektoren sind roots und poly inverse Funktionen bis auf Skalierungsfaktoren, Reihenfolge der Nullstellen und Rundungsfehler.

Der Aufruf von c=poly(A), wobei ${\bf A}$ eine $n \times n$ Matrix sein muss, liefert das charakteristische Polynom $c$ der Matrix ${\bf A}$. Das charakteristische Polynom ergibt sich aus folgender Determinante

$$\det \left( {\bf A}- \lambda{\bf I}\right) \; ,$$ (8.5)

wobei $\lambda$ die Eigenwerte der Matrix ${\bf A}$, bzw. die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $c$ sind.

Dies soll am Beispiel von

$${\bf A}= \begin{bmatrix}2 & 1 2 & 3 \end{bmatrix} \;\; , \;\; {\bf c}= \det \begin{bmatrix}2 - \lambda & 1 2 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \; ,$$ (8.6)

demonstriert werden, wobei sich hier als Lösung

$${\bf c}= \left( 2-\lambda \right) \left( 3 - \lambda \right) - 2 = \lambda^{2} - 5\lambda + 4$$ (8.7)

ergibt. Die Darstellung in MATLAB ergibt c=[1,-5,4] und die Nullstellen des charakteristischen Polynoms liegen bei $\lambda_{1,2}=\{1,4\}$.

Das Pascal'sche Dreieck

$$1$$

$$1 \;\;\; 1$$

$$1 \;\;\; 2 \;\;\; 1$$

$$1 \;\;\; 3 \;\;\; 3 \;\;\; 1$$ (8.8)

$$1 \;\;\; 4 \;\;\; 6 \;\;\; 4 \;\;\; 1$$

$$1 \;\;\; 5 \;\;\; 10 \;\;\; 10 \;\;\; 5 \;\;\; 1$$

$$1 \;\;\; 6 \;\;\; 15 \;\;\; 20 \;\;\; 15 \;\;\; 6 \;\;\; 1$$

kann auch in Form der Pascal'schen Matrix, hier für $n=4$ mit z.B. dem MATLAB-Befehl P=pascal(4)

$${\bf P}= \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 4 1 & 3 & 6 & 10 1 & 4 & 10 & 20 \end{bmatrix}$$ (8.9)

dargestellt werden. Das charakteristische Polynom kann nun mit dem Befehl p=poly(P) erzeugt werden und ergibt [1,-29,72,-29,1], was folgendem Polynom entspricht

$$p(x) = x^{4} - 29x^{3} + 72x^{2} - 29x + 1 \; .$$ (8.10)

Pascal'sche Matrizen haben die kuriose Eigenschaft, dass der Vektor der Koeffizienten des charakteristischen Poylnoms ``palindromic'' ist, d.h. er ergibt das Selbe von vorne und von hinten gelesen.

Evaluiert man das charakteristische Polynom nun im Sinne der Matrixmultiplikation, so erhält man mit R=polyvalm(p,P)

$${\bf R}= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \; ,$$ (8.11)

d.h. die Nullmatrix. Dies ist eine Folge des Cayley-Hamilton Theorems, dass besagt das eine Matrix ihre eigene charakteristische Gleichung erfüllt.