8.2 Nullstellen und charakteristische Polynome
se:polynome_nullstellen
Die Nullstellen eines Polynoms können mit dem Befehl
r=roots(p)
gefunden werden. Umgekehrt erzeugt der Befehl
p=poly(r)
das Polynom p, wenn r ein Vektor von
Nullstellen ist. Für Vektoren sind roots
und poly
inverse
Funktionen bis auf Skalierungsfaktoren, Reihenfolge der Nullstellen und
Rundungsfehler.
Der Aufruf von c=poly(A), wobei
eine
Matrix
sein muss, liefert das charakteristische Polynom
der Matrix
. Das
charakteristische Polynom ergibt sich aus folgender Determinante
![$\displaystyle \det \left( {\bf A}- \lambda{\bf I}\right) \; ,$](img268.gif) |
(8.5) |
wobei
die Eigenwerte der Matrix
, bzw. die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms
sind.
Dies soll am Beispiel von
![$\displaystyle {\bf A}= \begin{bmatrix}2 & 1 2 & 3 \end{bmatrix} \;\; , \;\; {\bf c}= \det \begin{bmatrix}2 - \lambda & 1 2 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \; ,$](img270.gif) |
(8.6) |
demonstriert werden, wobei sich hier als Lösung
![$\displaystyle {\bf c}= \left( 2-\lambda \right) \left( 3 - \lambda \right) - 2 = \lambda^{2} - 5\lambda + 4$](img271.gif) |
(8.7) |
ergibt. Die Darstellung in MATLAB ergibt c=[1,-5,4] und die
Nullstellen des charakteristischen Polynoms liegen bei
.
Das Pascal'sche Dreieck
kann auch in Form der Pascal'schen Matrix, hier für
mit z.B. dem
MATLAB-Befehl P=pascal(4)
![$\displaystyle {\bf P}= \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 4 1 & 3 & 6 & 10 1 & 4 & 10 & 20 \end{bmatrix}$](img281.gif) |
(8.9) |
dargestellt werden. Das charakteristische Polynom kann nun mit dem Befehl
p=poly(P)
erzeugt werden und ergibt [1,-29,72,-29,1],
was folgendem Polynom entspricht
![$\displaystyle p(x) = x^{4} - 29x^{3} + 72x^{2} - 29x + 1 \; .$](img282.gif) |
(8.10) |
Pascal'sche Matrizen haben die kuriose Eigenschaft, dass der Vektor der
Koeffizienten des charakteristischen Poylnoms ``palindromic'' ist, d.h. er
ergibt das Selbe von vorne und von hinten gelesen.
Evaluiert man das charakteristische Polynom nun im Sinne der
Matrixmultiplikation, so erhält man mit R=polyvalm(p,P)
![$\displaystyle {\bf R}= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \; ,$](img283.gif) |
(8.11) |
d.h. die Nullmatrix. Dies ist eine Folge des Cayley-Hamilton Theorems, dass
besagt das eine Matrix ihre eigene charakteristische Gleichung erfüllt.
Winfried Kernbichler
2005-04-26