8.6 Fitten mit Polynomen

se:polynome_fitten Im Allgemeinen bezeichnet man das Ermitteln von Funktionen, die am Besten einen gegebenen Verlauf von daten entsprechen, als Fitten der Daten. Dabei gibt man eine Modellfunktion vor, die im einfachsten Fn denall eine Gerade oder ein Polynom der Ordnung $k$ ist. Unter der Annahme, dass die Daten in den gleich langen Vektoren $x$ und $y$ vorliegen, wird im sogenannten ``Least Squares'' Verfahren die Summe der Abstandsquadrate minimiert.

Bei Vorliegen von $m$ Datenpunkten und unter der Annahme dass die Modellfunktion mit $p(x)$ bezeichnet wird, kann die Summe der Abstandsquadrate geschrieben werden als

$$q = \sum_{j=1}^{m} \left( y_{j} - p(x_{j}) \right)^2 \; \stackrel{!}{=} \; {\rm Min} \; ,$$ (8.13)

wofür ein minimaler Wert gesucht wird.

Wenn man sich auf Polynome als Modellfunktionen beschränkt, kann man für diese Aufgabe den MATLAB-Befehl p=polyfit(x,y,n) verwenden, der in $p$ die Koeffizienten des ``besten'' Polynoms vom Grad $n$, d.h. einen Vektor der Länge $n+1$, retourniert. Dieses Polynom kann dann mit polyval im interessanten Bereich ausgewertet werden. Diese Vorgangsweise macht natürlich nur Sinn, wenn die Modellfunktion zu den Daten ``passt''.