5.1 Transponieren einer Matrix

Es erweist sich als praktisch, die Transponierte einer Matrix zu definieren. Die transponierte Matrix ${\bf A}^{T}$ einer $m \times n$ Matrix ${\bf A}= [a_{jk}]$ ist eine $n \times m$ Matrix, wobei die Zeilen in Spalten und die Spalten in Zeilen verwandelt werden,

$${\bf A}^{T}= [a_{kj}]\; .$$ (5.5)

Mit Hilfe der transponierten Matrix können zwei Klassen von reellen quadratischen Matrizen definiert werden:

Symmetrische Matrix:

Für eine symmetrische Matrix gilt

$${\bf A}^{T}= {\bf A}\; .$$ (5.6)

Schiefsymmetrische Matrix:

Für eine schiefsymmetrische Matrix gilt

$${\bf A}^{T}= -{\bf A}\; .$$ (5.7)

Zerlegung:

Jede quadratische Matrix ( $n \times n$) lässt sich in eine Summe aus einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix zerlegen,

$${\bf A} = {\bf S}+ {\bf U}\; ,$$ (5.8)

$${\bf S} = \frac{1}{2} \left( {\bf A}+ {\bf A}^{T}\right) \; ,$$ (5.9)

$${\bf U} = \frac{1}{2} \left( {\bf A}- {\bf A}^{T}\right) \; .$$ (5.10)

In MATLAB steht zum Transponieren der Operator .' oder der Befehl transpose zur Verfügung.