5.4 Matrix Multiplikation

Dies ist eine Multiplikation im Sinne der linearen Algebra. Das Produkt ${\bf C}={\bf A}{\bf B}$ einer $m \times n$ Matrix ${\bf A}= [a_{jk}]$ und einer $r \times p$ Matrix ${\bf B}= [b_{jk}]$ ist nur dann definiert, wenn gilt $n=r$. Die Multiplikation ergibt eine $m \times p$ Matrix ${\bf C}= [c_{jk}]$, deren Elemente gegeben sind als,

$$c_{jk} = \sum_{l=1}^{n} a_{jl} b_{lk} \; .$$ (5.15)

In MATLAB steht für die Matrizenmultiplikation der Befehl C=mtimes(A,B) oder die Operatorform C=A*B zur Verfügung, wobei nach den oben genannten Regeln die ''inneren'' Dimensionen übereinstimmen müssen, d.h., die Anzahl der Spalten von A muss mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmen (Index $l$ in 5.15).

Im Unterschied zur Multiplikation von Skalaren ist die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ, im Allgemeinen gilt daher

$${\bf A}{\bf B}\neq {\bf B}{\bf A}\; .$$ (5.16)

Außerdem folgt aus ${\bf A}{\bf B}=0$ nicht notwendigerweise ${\bf A}=0$ oder ${\bf B}=0$ oder ${\bf B}{\bf A}=0$.

Beispiele:

Multiplikation einer $(2 \times 3)$-Matrix mit einer $(3 \times 2)$-Matrix:

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatri... ...5 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}14 & 32 32 & 77 \end{bmatrix} \; .$$ (5.17)

Multiplikation einer $(3 \times 2)$-Matrix mit einer $(2 \times 3)$-Matrix:

$$\begin{bmatrix}1 & 4 2 & 5 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatr... ... \begin{bmatrix}17 & 22 & 27 22 & 29 & 36 27 & 36 & 45 \end{bmatrix} \; .$$ (5.18)

Multiplikation einer $(3 \times 2)$-Matrix mit einer $(3 \times 2)$-Matrix:

$$\begin{bmatrix}1 & 4 2 & 5 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 4 2 & 5 3 & 6 \end{bmatrix} = \; .$$ (5.19)

Inneres Produkt zweier Vektoren:

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 5 6 \end{bmatrix} = 32 \; .$$ (5.20)

Äußeres Produkt zweier Vektoren:

$$\begin{bmatrix}1 2 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 & 5 & 6... ...x} = \begin{bmatrix}4 & 5 & 6 8 & 10 & 12 12 & 15 & 18 \end{bmatrix} \; .$$ (5.21)

Fehler:

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \; .$$ (5.22)

Für das Transponieren von Produkten, ${\bf C}={\bf A}{\bf B}$, kann sich ganz leicht davon überzeugen, dass gilt:

$${\bf C}^{T} = {\bf B}^{T}{\bf A}^{T}$$ (5.23)

$${\bf C} = ({\bf B}^{T}{\bf A}^{T})^T$$ (5.24)

$$(c{\bf A})^{T} = c{\bf A}^{T}$$ (5.25)