12.3 Spiralen, Schwebung, Gaußverteilung

Ziel:

Umgang mit Funktionen. Setzen von Defaultwerten für Inputparameter. Erstellen einfacher Plots.

Vorraussetzung:

Grundlagen von Funktionen in MATLAB.

Erstellen Sie ein Skript sfunk.m, das alle folgenden Funktionen testet und einfache Kurven der Funktionen erstellt. Erklärungen zu den Plotbefehlen finden Sie in dem Abschnitt 11.2.1 bzw. in der MATLAB-Hilfe für plot.

Defaultwerte kann man setzen, indem man die Anzahl der Input-Variablen überprüft. Dafür steht nach dem Aufruf der Funktion die Variable nargin zur Verfügung. Darüberhinaus bietet sich auch die Funktion isempty an. Erklärungen dafür finden Sie in dem Abschnitt 7.1.6.

12.3.1 Spiralen

Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion spirale1, die mit dem Aufruf

 [x,y] = spirale1(t,nu,a1,a2)

folgende Funktion berechnet

$$x(t) = a_1 e^{-a_2 t} \cos(2 \pi \nu t)$$

$$y(t) = a_1 e^{-a_2 t} \sin(2 \pi \nu t) \; ,$$

wobei $t$ ein Zeitvektor ist. Der Defaultwert für die Frequenz $\nu$ soll $5$ sein und für $a_1$ und $a_2$ sollen als Defaultwert $1$ gesetzt werden. Erzeugen Sie im zugehörigen Testskript sfunk einen vernünftigen Zeitvektor und plotten Sie $y$ als Funktion von $x$, bzw. $x$ und $y$ als Funktion von $t$.

Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion spirale2, die mit dem Aufruf

 [x,y] = spirale2(t,nu,a1,a2)

folgende Funktion berechnet

$$x(t) = a_1 \log(1 + a_2 t) \cos(2 \pi \nu t)$$

$$y(t) = a_1 \log(1 + a_2 t) \sin(2 \pi \nu t) \; ,$$

wobei $t$ ein Zeitvektor ist. Der Defaultwert für die Frequenz $\nu$ soll $5$ sein und für $a_1$ und $a_2$ sollen als Defaultwert $1$ gesetzt werden. Erzeugen Sie im Skript einen vernünftigen Zeitvektor und plotten Sie $y$ als Funktion von $x$, bzw. $x$ und $y$ als Funktion von $t$.

12.3.2 Schwebung

Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion schwebung, die mit dem Aufruf

 [x,y] = schwebung(t,nu1,nu2,a1)

folgende Funktion berechnet

$$x(t) = a_1 \left( \sin(2 \pi \nu_1 t) + \cos(2 \pi \nu_2 t) \right)$$

$$y(t) = a_1 \left( \sin(2 \pi \nu_1 t) - \cos(2 \pi \nu_2 t) \right) \; ,$$

wobei $t$ ein Zeitvektor ist. Die Defaultwerte für die Frequenz $\nu_1$ und $\nu_2$ sollen $5$ und $4.5$ sein. Der Defaultwert für für $a_1$ soll $1$ sein. Erzeugen Sie im Skript einen vernünftigen Zeitvektor und plotten Sie $x$ und $y$ als Funktion von $t$, bzw. $y$ als Funktion von $x$. Der Zeitvektor sollte so gewählt werden, dass man das Phänomen der Schwebung erkennen kann. Die Darstellung $y$ als Funktion von $x$ nennt man eine Lissajous-Figur. Die Kurve schließt sich zum ersten Mal, wenn $t_0=0$ und $t_{end}=1/\left\vert \nu_1 - \nu_2 \right\vert$ ist.

12.3.3 Gaußverteilung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung und auch in der Physik hat die Normalverteilung bzw. Gaußverteilung eine große Bedeutung. Sie ist definiert durch

$$g(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{-\frac{(x-x_{0})^2}{2 \sigma^2}\right\} \; ,$$

wobei $x_{0}$ und $\sigma$ die Parameter der Verteilung sind. In $x_{0}$ liegt sowohl das Maximum als auch das Symmetriezentrum, und $\sigma$ ist der Abstand von diesem Zentrum zu den Wendepunkten. Wie für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt

$$\int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx = 1 \; .$$

In der Physik verwendet man häufig auch eine Summation über mehrere Gaußfunktionen mit jeweils unterschiedlichen Parametern. Dies hat den Sinn, dass man gleichzeitig mehrere Maxima darstellen kann. Allgemein kann man die Funktion dann definieren als

$$g(x)= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n \sqrt{2\pi} \sigma_k} \exp\left\{-\frac{(x-x_{0k})^2}{2 \sigma_k^2}\right\} \; ,$$

wobei $x_{0k}$ und $\sigma_k$ die gleiche Bedeutung wie vorher haben. Die Summation erfolgt über alle $n$ Werte der Parameter $x_{0k}$ und $\sigma_k$.

Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion gauss1d, die mit folgendem Aufruf

  g(x) = gauss1d(x,x0,sigma)

die Gaußverteilung als Funktion des Vektors $x$ berechnet. Setzen Sie die Defaultwerte $x_{0}=[-1,1]$ und $\sigma=[0.5,1]$.

• Initialisieren Sie $g$ als Feld mit lauter Nullen in der Größe von $x$.
• Um sicherzustellen, dass die Vektoren für $x_0$ und $\sigma$ gleich lang sind, kann man deren Länge (length) vergleichen und bei unterschiedlicher Länge einen Fehler (error) melden.
• Bilden Sie die Summe über alle Werte ( $k = 1\dots n$) der Parameter mit Hilfe einer einzigen for-Schleife. Vergessen Sie dabei nicht, dass $x$ ein Array sein kann.

  Hinweis: Eine for-Schleife hilft bei der Summation über die einzelnen Beiträge zur Summe 12.3.3. Dabei ist es praktisch, wenn man noch vor der Schleife ein Feld erzeugt, das gleich groß ist, wie die Inputvariable x, das aber lauter Nullen enthält. Der sinnvollste Befehl dafür ist:
  g = zeros(size(x))
  Dann kann man in der Schleife
  g = g + ...
  schreiben und bei jedem Durchlauf werden die Werte für einen Peak addiert. Nach dem Ende der Schleife muss man durch die Anzahl der Peaks n, also durch die Länge des Vektors x0 (oder sigma) dividieren. Damit ist dann die Normierung auch bei mehreren Peaks sichergestellt.

• Probieren Sie die Funktion mit Hilfe des Skripts sfunk aus und machen Sie einen Plot
  plot(x,g)
  Wählen Sie den $x$-Vektor in einem vernünftigen Bereich, damit die Funktion $g(x)$ sinnvoll dargestellt wird (linspace). Beschriften Sie den Plot mit Achsenbeschriftung und Titel.