Unterabschnitte

Eingeschränkte Bewegung. Zwangskräfte. Integrable nichtlineare Schwingung

Die Bewegung eines Massenpunktes wird oft durch gewisse Bedingungen eingeschränkt (E.: constrained motion), die es ihm nicht gestatten, sich im ganzen Raum zu bewegen. Z.B. kann die Bewegung auf eine vorgegebene Fläche eingeschränkt werden, oder es kann ein bestimmter Bereich des Raumes unzugänglich sein. In manchen Fällen lassen sich diese Nebenbedingungen (E.: constraints) analytisch durch Gleichungen oder Ungleichungen darstellen. Hier werden nur solche betrachtet, die sich durch Gleichungen der Art

$\displaystyle f(\vec{r},t) = 0$ (61)

darstellen lassen, d.h. daß sich der Körper auf einer Fläche bewegen muß; oder durch die beiden Gleichungen

$\displaystyle f_1(\vec{r},t) = 0 , \qquad f_2(\vec{r},t) = 0;$ (62)

was bedeutet, daß sich der Körper unter dem Einfluß der Nebenbedingungen auf der Schnittkurve der beiden Flächen bewegen muß. Hier wird immer angenommen, daß diese Bewegung ohne Reibung abläuft. Die vorhergehenden Fälle werden meist mit Hilfe von Zwangskräften behandelt. Wenn zwei Nebenbedingungen die Beweglichkeit auf die Schnittkurve der beiden Flächen einschränken, dann kann auch eine zweite Methode verwendet werden, bei der die äußere Kraft auf diese Kurve projiziert wird.

Drei unabhängige Nebenbedingungen würden eine Bewegung der Masse unmöglich machen.

Zuerst werden zwei Arten von Bewegungsgleichungen, die die Nebenbedingungen berücksichtigen, abgeleitet. Diese werden dann für das sphärische, das mathematische und das Zykloidenpendel spezialisiert und exakt gelöst.

Solche nichtlineare Bewegungsgleichungen, die sich exakt lösen lassen, heißen integrabel. An diesen Beispielen werden wir einige allgemeine Eigenschaften nichtlinerarer Bewegungen aufzeigen:

  1. Für verschiedene Energiewerte können ganz verschiedene Typen von Bewegungen auftreten, S. Tabelle in §6.3.1 und Abb. 6.12.
  2. Bei Schwingungen hängt in den meisten Fällen die Schwingungsdauer von der Größe des Maximalausschlags, damit von der Energie ab, s. Abb. 6.10 und Animation im Notebook K6MathPend2.nb.


Ableitung der Bewegungsgleichungen. Zwangskräfte

Wenn sich ein Körper unter dem Einfluß einer Kraft bewegt, verläuft im allgemeinen die Bewegung bei Bestehen von Nebenbedingungen anders als bei deren Abwesenheit. Da jedem Einfluss auf die Bewegung eines Körpers in der Mechanik eine Kraft zugeschrieben werden kann, wird auch in diesem Fall eine Kraft eingeführt, die für den geänderten Bewegungsablauf verantwortlich ist. Sie heisst Zwangskraft (E.: reaction force); man kann sich vorstellen, daß sie durch elastische Deformation der Führungen oder Lager entsteht. Zum Unterschied heißt die vorgegebene Kraft, $ \vec{F}$, so wie diese in den früheren Kapiteln verwendet wurde, eingeprägte Kraft (E.: impressed force).

Man kann nach Definition der Zwangskraft die Bewegung so beschreiben, als ob sich der Körper frei, aber unter dem Einfluß der Resultierenden der beiden Kräfte bewegt:

$\displaystyle m  \ddot{\vec{r}}  =  \vec{F}  +  \vec{Z} .$ (63)

Die Zwangskraft, $ \vec{Z}$, hat zur Folge, daß sie das Verlassen der Fläche, also Bewegungen senkrecht zur Fläche, verhindert. Man nimmt daher an, daß sie in der Flächennormalen liegt und daher proportional zum Gradienten der Fläche ist:

$\displaystyle \vec{Z}  =  \lambda  $   grad$\displaystyle f ;$ (64)

$ \lambda$ ist eine vorläufig nicht bestimmte Funktion der Zeit. Sie heisst Lagrangescher Multiplikator (E.: Lagrangian multiplier). Für zwei Nebenbedingungen folgt analog:

$\displaystyle \vec{Z}  =  \lambda_1  grad f_1  +  \lambda_2  $   grad$\displaystyle f_2 .$ (65)

Im Falle einer Nebenbedingung hat man also
$\displaystyle m  \ddot{\vec{r}}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \vec{F}  +  \lambda $   grad$\displaystyle  f ,$ (66)
$\displaystyle f(\vec{r},t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 ;$ (67)

das sind vier Gleichungen für die vier unbekannten Funktionen $ x(t), y(t), z(t), \lambda (t)$.

Bei zwei Nebenbedingungen hat man:

$\displaystyle m  \ddot{\vec{r}}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \
\vec{F}  + \lambda_1  $   grad$\displaystyle f_1  +  \lambda_2  $   grad$\displaystyle f_2 ,$  
$\displaystyle f_1(\vec{r},t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0,$ (68)
$\displaystyle f_2(\vec{r},t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.$  

Das sind fünf Gleichungen für die fünf unbekannten Funktionen $ x(t), y(t), z(t), \lambda_1(t), \lambda_2(t)$.

Im allgemeinen ist die Lösung dieser Gleichungen, die auch Lagrangesche Gleichungen 1. Art genannt werden, schwierig, weil es nur selten gelingt, eine Lösung der Differentialgleichungen an die Nebenbedingungen anzupassen. Beim sphärischen Pendel ist es aber bei kleinen Ausschlägen möglich, eine passende Näherungslösung zu finden, s. §6.3.2.

Projektion der Kraft auf eine Zwangskurve

Das zweite Verfahren ist anwendbar, wenn auf Grund der Nebenbedingungen bereits eine Raumkurve festgelegt ist, auf der die Bewegung erfolgen muß. Diese trifft zu, wenn

  1. zwei unabhängige Nebenbedingungen vorliegen, oder
  2. der Massenpunkt reibungsfrei auf einer Zylinderfläche gleitet und die eingeprägte Kraft keine Komponente in Richtung der Erzeugenden hat.
Die Raumkurve sei durch eine Vektorfunktion gegeben, die von einem Parameter $ \alpha $ abhängt. Daraus berechnet man den Betrag der Geschwindigkeit und dessen Zeitableitung gemäß der Kettenregel so wie in Kap.2:
$\displaystyle \vec{r}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \vec{r}(\alpha);$  
$\displaystyle v  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \frac{ds}{dt}  =  \frac{ds}{d\alpha}  \frac{d\alpha}{dt}  = \
\sqrt{[\vec{r}  '(\alpha)]^2}  \dot{\alpha}  ;$  
$\displaystyle \dot{v}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \big[ \sqrt{[\vec{r}  '(\alpha)]^2} \big]'  \dot{\alpha}^2  + \
\sqrt{[\vec{r}  '(\alpha)]^2}  \ddot{\alpha}  .$ (69)

Der Apostroph bezeichnet hier die Ableitung nach $ \alpha $ . Mittels (2.6) bis (2.8) - bildet man aus der vorhergehenden Gleichung die folgende; diese wird dann mit dem normierten Tangenvektor multipliziert.
$\displaystyle m  \frac{dv}{dt}  =  m  \dot{v}  \vec{e}_t  -  m  \frac{v^2}{R}  \vec{e}_n   = \
\vec{F}  \big\vert \cdot \vec{e}_t$      
$\displaystyle m  \dot{v}  =  F_t(\alpha)  =  \vec{F}(\vec{r}(\alpha)) \cdot \vec{e}_t(\alpha).$      

$ F_t(\alpha)$ ist die Komponente der eingeprägten Kraft in Richtung der Kurventangente. Mit der vorhergehenden Gleichung und Gl. (6.9) erhält man dann die Bewegungsgleichung:

$\displaystyle m \left( \left[ \sqrt{[\vec{r}{ '}(\alpha)]^2} \right]'   \dot{...
... \sqrt{[\vec{r}{ '}(\alpha)]^2}  \ddot{\alpha} \right)  =  F_t(\alpha)  .$ (610)


Das Zykloidenpendel

Das Zykloidenpendel ist ein Pendel, bei dem sich eine Masse auf einer gemeinsamen Zykloide (Radkurve) bewegt. Eine Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt; dabei erzeugt ein bestimmter Punkt dieses Kreises die Kurve, s. Abb. 6.1 und Animation im Notebook K6ZykloidenPend.nb.

Diese Konstruktion (Abb. 6.1) liefert auch die Parameterdarstellung der Zykloide:

$\displaystyle x(\alpha)  =  a  (\alpha - \sin\alpha) , \qquad y(\alpha)  =  a  (1 + \cos\alpha) .$ (611)

$ \alpha $ ist der Drehwinkel des Rades, durch dessen Rollen man sich die Kurve erzeugt denken kann. Er wird unten zur Beschreibung der Bewegung verwendet werden.

Abbildung 6.1: Der Kreis (hier mit Radius $ a = 1$) rollt auf der ihn oben berührenden Geraden ab. Der Punkt des Kreises, der am Anfang auf der Geraden liegt, erzeugt die Zykloide. Mathematica Notebook: K6ZykloidenPend.nb.
\includegraphics[width=12cm]{K6zp1}

Für die tangentielle Kraftkomponente liest man aus Abb. 6.2 ab:

$\displaystyle F_t  =  -mg  \sin\varphi .$ (612)

Abbildung 6.2: Die tangentielle Komponente der Schwerkraft.
\includegraphics[width=4.5cm]{K6zp2}

Für die Ableitungen von x und y nach $ \alpha $ bzw. nach der Zeit $ t$ findet man:

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} x' &=& \frac{dx}{d \alpha} &=& a...
...d\alpha}  \frac{d\alpha}{dt} &=& y' \dot{\alpha} . \end{array}\end{displaymath} (613)

Weiters gilt:
    $\displaystyle \tan\varphi  =  dy/dx  =  \dot{y}/\dot{x}  =  y'/x'  , \qquad
\sin\varphi  =  y'/\sqrt{x'^{2} + y'^{2} } ;$  
    $\displaystyle x'^{2} + y'^{2}  =  2 a^2  (1 - \cos\alpha)  =  4 a^2  \sin^2(\alpha/2) ;$  
    $\displaystyle \sin\varphi  =  \frac{-  a  \sin\alpha}{2  a  \sin(\alpha/2)}  =  -  \cos(\alpha/2).$  

Damit berechnet man weiter:
$\displaystyle F_t  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  -  m g  \sin\varphi  =  m g  \cos(\alpha/2);$  
$\displaystyle v^2  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \dot{x}^2  +  \dot{y}^2  =  \dot{\alpha}^2  4 a^2  \sin^2(\alpha/2) ;$  
$\displaystyle v  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  2 a \dot{\alpha}  \sin(\alpha/2)  =  -  4a  \frac{d \cos(\alpha/2)}{dt}.$  

Damit lautet die Bewegungsgleichung (6.10):

$\displaystyle -  m  4 a  \frac{d^2}{dt^2} \Big( \cos\frac{\alpha}{2} \Big)  =  mg  \cos\frac{\alpha}{2} .$ (614)

Mit der Substitution $ u := \cos(\alpha/2) $ wird daraus die Schwingungsgleichung

$\displaystyle \ddot{u}  +  \frac{g}{2a}  u  =  0;
$

deren zur Anfangsbedingung $ \alpha(0) = \pi $ gehörige Lösung ist:

$\displaystyle u  =  A  \sin(\sqrt{g/4a}  t).
$

Der maximale Ausschlag des Pendels wird mit $ \alpha_0$ bezeichnet. Damit erhält man aus obiger Lösung:
$\displaystyle \cos\frac{\alpha}{2}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \cos\frac{\alpha_0}{2}  \sin(\sqrt{g/4a}  t);$  
$\displaystyle \alpha  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  2  \arccos \big[ \cos\frac{\alpha_0}{2}  \sin(\sqrt{g/4a}  t) \big] .$  

Damit ergibt sich für die Schwingungsdauer $ T$ des Pendels:

$\displaystyle T  =  2 \pi  \sqrt{\frac{4a}{g}}.$ (615)

Das Zykloidenpendel hat also die Eigenschaft, daß seine Schwingungsdauer streng unabhängig vom Ausschlag ist. Diese Entdeckung stammt von Chr. Huygens (1673). Im allgemeinen hängt die Schwingungsdauer eines Pendels (allgemeiner: die einer nichtlinearen Schwingung) von der Größe des maximalen Ausschlags ab. Im nächsten Paragraphen wird am Beispiel des mathematischen Pendels gezeigt werden, daß die Schwingungsdauer des gewöhnlichen mathematischen Pendels für Amplituden über 90^&cir#circ; sehr stark mit steigendem Ausschlag zunimmt. (Animation im Notebook: K6MathPend2.nb). Insofern bildet das Zykloidenpendel eine wichtige Ausnahme (s. Animation im Notebook: K6ZykloidenPend.nb).

Das letzte Laufbild und Abb. 6.3 zeigen: Die Bewegung auf der materiell nicht vorhandenen Zykloide wird dadurch erzwungen, daß der Faden in seiner Bewegung durch die beiden grauen Schablonen eingeschränkt wird. Letztere sind die Evolute (= Kurve der Krümmungsmittelpunkte) der Bahnzykloide und stellen auch eine Zykloide dar. (Dies ist ein wohlbekannter Satz der Differentialgeometrie.) Diese Folge von Krümmungskreisen ist in Abb. 6.4 dargestellt; sie werden als Animation im Notebook: K6ZykloidenPend.nb) vorgeführt.

Abbildung 6.3: Zwei Schablonen in Gestalt zweier Teile einer Zykloide verkürzen den Pendelfaden immer mehr je höher der Ausschläg. Dann läuft die Masse am Endes des Fadens auf einer Zykloide. Notebook: K6ZykloidenPend.nb.
\includegraphics[width=7cm]{K6zp3}
Abbildung 6.4: Jedem Punkt der Zykloide kann ein Krümmungskreis zugeordnet werden. Deren Mittelpunkte liefern die Evolute. Notebook: K6ZykloidenPend.nb.
\includegraphics[width=7cm]{K6zp4}

Das sphärische und das ebene Pendel


Aufstellung der Bewegungsgleichungen. Unterscheidung der verschiedenen Bewegungstypen mittels Drehimpuls- und Energiesatz

Unter einem sphärischen Pendel versteht man einen an einem masselos gedachten Faden der Länge $ R$ aufgehängten Massenpunkt; dadurch kann sich letzterer nur auf der Oberfläche einer Kugel vom Radius $ R$ bewegen. Für den Fall, daß der Massenpunkt bis in die obere Hälfte der Kugel gelangt, muß man sich den Faden als eine masselose Stange denken.

Legt man den Koordinatenursprung in den Kugelmittelpunkt, erhält man die Gleichungen:

$\displaystyle m  \ddot{\vec{r}}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \vec{F}  +  \lambda  $   grad$\displaystyle G ,$ (616)
$\displaystyle G(\vec{r},t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle  x^2 + y^2 + z^2 - R^2  =  0 .$  

Mit

$\displaystyle \partial G / \partial x_i  =  2 x_i, \qquad F_x  =  F_y  = 0, \quad F_z  =  -  mg
$

erhält man das folgende Differentialgleichungssystem:

\begin{displaymath}\begin{array}{rcccl\vert\vert c\vert c} m \ddot{\vec{r}} &=& ...
...ddot{z} &=& - mg & + & 2 \lambda z & \cdot\dot{z} & \end{array}\end{displaymath} (617)

Dieses wird wieder mittels Energie- und Drehimpulssatz reduziert. Zuerst wird der Energiesatz abgeleitet. Multipliziert man die Gln. (6.17), wie in Kolonne I angegeben, und addiert, findet man:

$\displaystyle m  (\ddot{x}\dot{x} + \ddot{y}\dot{y} + \ddot{z}\dot{z})  = \
...
...\cdot \dot{\vec{r}} )  =  2 (\vec{r} \cdot \dot{\vec{r}})  -  mg \dot{z} .
$

Differentiation der Nebenbedingung in Gl. (6.16) zeigt, daß der erste Term auf der rechten Seite obiger Gleichung Null ist:

$\displaystyle G = 0: \quad \vec{r}^{ 2}  =  R^2  \Big\vert d/dt \quad \Rightarrow \quad
2 (\vec{r} \cdot \dot{\vec{r}})  =  0.
$

Damit ergibt sich aus der vorhergehenden Gleichung der Energiesatz:

$\displaystyle \frac{d}{dt} \Big[  \frac{m}{2}  \dot{\vec{r}}^{ 2}  +  m g z  \Big]  =  0, \qquad E  =  \dot{\vec{r}}^{ 2}  +  mgz  =  $   const. (618)

Die Erhaltung der z-Komponente des Drehimpulses beweist man, indem man die ersten zwei Gln. (6.16) multipliziert wie in Kolonne II angegeben und addiert.

$\displaystyle m  (x\ddot{y} - \ddot{x} y)  =  \frac{d}{dt} [ m  (x \dot{y} - \dot{x} y) ]  =  0;
\qquad
L_z  =  m  [x \dot{y} - \dot{x} y]  =  $   const.

Nun werden Kugelkoordinaten mit $ r = R =$   const. eingeführt. Damit ergeben sich folgende Ausdrücke:
$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle  R  \sin\vartheta  \cos\varphi, \quad
y  =  R  \sin\vartheta  \sin\varphi, \quad
z  =  R  \cos\vartheta.$  
$\displaystyle \dot{x}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle   R  \cos\vartheta  \cos\varphi  \dot{\vartheta}  - \
R  \sin\vartheta  \sin\varphi  \dot{\varphi},$  
$\displaystyle \dot{y}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle   R  \cos\vartheta  \sin\varphi  \dot{\vartheta}  + \
R  \sin\vartheta  \cos\varphi  \dot{\varphi},$  
$\displaystyle \dot{z}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -R  \sin\vartheta  \dot{\vartheta} .$  

Setzt man diese Formeln in den obigen Ausdruck für den Drehimpuls ein, ergibt sich:

$\displaystyle L_z  =  m  R^2  \sin^2\vartheta  \dot{\varphi}  =  $   const. (619)

Aus den obigen Formeln ergibt sich für das Quadrat der Geschwindigkeit

$\displaystyle \vec{v}^2  =  \dot{x}^2  +  \dot{y}^2  +  \dot{z}^2  = \
R^2  ( \dot{\vartheta}^2  +  \sin^2\vartheta  \dot{\varphi}^2 )
$

und damit für den Energiesatz:

$\displaystyle E  =  \frac{m}{2}  R^2  \Big[ \dot{\vartheta}^2  +  \sin^2\vartheta  \dot{\varphi}^2 \Big]
 +  mg  R \cos\vartheta  =  $   const.

Eliminiert man aus dieser Gleichung die Winkelgeschindigkeit $ \dot{\varphi}$ mittels des Drehimpulssatzes, (6.19), erhält man aus dem Energiesatz eine Differentialgleichung 1. Ordnung für den Winkel $ \vartheta $:

$\displaystyle E  =  \frac{m}{2}  R^2  \Big[ \dot{\vartheta}^2  +  \frac{L_z^2}{m^2 R^4  \sin^2\vartheta} \Big]
 +  mg  R \cos\vartheta  =  $   const.

Diese Gleichung eignet sich besonders zur Bestimmung der verschiedenen Bewegungstypen. Es ist bequemer mit dimensionslosen Verhältnissen zu arbeiten. So soll die Zeit (bzw. die Kreisfrequenz $ \omega $ in Einheiten von $ T_0$ (bzw. $ \omega _0 $), der Schwingungsdauer (bzw. Kreisfrequenz) für kleine Schwingungen, Gl. (3.16), gemessen werden. Ebenso werden statt der Gesamtenergie $ E$ und der Komponente des Drehimpulses $ L_z$ dimensionslose Verhältnisse $ \epsilon$ und $ \lambda$ eingeführt:

\begin{displaymath}\begin{array}{rclc} T_0 &=& 2 \pi \sqrt{R/g}, \qquad \omega_0...
...t{\varphi}/\omega_0  = \mbox{const.} & \mbox{(c)} \end{array}\end{displaymath} (620)

Die Einführung dieser dimensionslosen Parameter reduziert die Zahl der zu untersuchenden Größen beachtlich. Das System wird durch 2 Parameter $ g$ und $ R$ beschrieben; diese werden zu dem einen wesentlichen, nämlich $ \omega _0 $, zusammengefaßt. Von den 6 Anfangswerten $ \vec{r}_0$ und $ \dot{\vec{r}}_0$ sind wegen der Nebenbedingung $ G = \vec{r}^{ 2} - R^2  = 0 $ und der daraus folgenden Bedingung $ (\vec{r}_0 \cdot \dot{\vec{r}}_0 )  =  0$ nur 4 unabhängig. An deren Stelle treten die zwei wesentlichen Parameter $ \epsilon,  \lambda$ und zwei unwesentliche, z.B. $ \vartheta_0$ und $ \varphi_0$.

Aus den obigen Gleichungen (6.20) ergeben sich folgende Bewegungstypen:




Die Typen der Bewegung des sphärischen Pendels
a) $ L_z \sim \lambda = 0$ $ \dot{\varphi} \equiv 0$ Ebene Schwingung
a0) $ E = - mgR,   \varepsilon = - 1$ $ \dot{\vartheta} \equiv 0 $ $ \vartheta \equiv \pi,   \delta \equiv 0 $ Ruhe
a1) $ -mgR < E < mgR $ $ 0 \leq \vert\dot{\vartheta}\vert \leq \sqrt{2} \omega_0 \sqrt{\varepsilon + 1} $ $ \arccos\varepsilon \leq \vartheta \leq 2\pi - \arccos\varepsilon $ Schwingung
$ -1 < \varepsilon < 1 $ $ 0 \leq \vert\dot{\delta}\vert \leq \sqrt{2} \omega_0 \sqrt{\varepsilon + 1} $ $ -\arccos (-\varepsilon) \leq \delta \leq \arccos (-\varepsilon) $ = Libration
a2) $ E = mgR $ $ 0 \leq \vert\dot{\vartheta}\vert \leq 2 \omega_0 $ $ 0 \leq \vartheta \leq 2\pi $ Grenzfall =
$ \varepsilon = 1 $ $ 0 \leq \vert\dot{\delta}\vert \leq 2 \omega_0 $ $ -\pi \leq \delta \leq \pi $ Limitationsb.
a3) $ E > mgR $ $ \sqrt{2} \omega_0 \sqrt{\varepsilon - 1} \leq \vert\dot{\vartheta}\vert \leq
\sqrt{2} \omega_0 \sqrt{\varepsilon + 1} $ $ - \infty \leq \vartheta \leq \infty $ Rotation =
$ \varepsilon > 1 $ $ \sqrt{2} \omega_0 \sqrt{\varepsilon - 1} \leq \vert\dot{\delta}\vert
\leq \sqrt{2} \omega_0 \sqrt{\varepsilon + 1} $ $ - \infty \leq \delta \leq \infty $ Nutation
b) $ L_z \sim \lambda \ne 0$ $ -\infty \leq \varphi \leq \infty $ Räumliche Schwingung
$ E > -mgR,   \varepsilon > -1 $ $ 0 < \vert\lambda\vert < \bar{u}_1$ $ \vartheta_1 \leq \vartheta \leq \vartheta_2 $

$ \bar{u}_1  =  \varepsilon/3  -  \sqrt{(\varepsilon/3)^2 + 1/3}.$

Fall a) entspricht den verschiedenen Bewegungsmöglichkeiten des mathematischen Pendels und gibt nur Bewegungen des Massenpunktes auf einem (oder Teilen eines) vertikalen Kreises in der Ebene $ \varphi \equiv \varphi_0$. In diesem Fall ist es zweckmässiger, statt des Polarwinkels $ \vartheta $ den Winkel $ \delta$ einzuführen, der von der negativen $ z$-Achse, d.i. von der Ruhelage des Pendels, aus gezählt wird.

$\displaystyle \vartheta  =  \pi - \delta, \qquad \dot{\vartheta}  =  - \dot{\delta} .
$

Abbildung 6.5: Die Typen der Bewegung eines ebenen Pendels. Notebook: K6MathPend1.nb.
\includegraphics[width=6cm]{K6mp1}

Abbildung: Die Bewegung des sphärischen Pendels bei $ L_z \neq 0$. Links: Die schwarzen Breitenkreise markieren die zuläßige Zone. Rechts: Teil einer realen Bahn. Die erste Periode wurde rot, die zweite blau strichliert gezeichnet. Notebook: K6SpherPend1.nb.
\includegraphics[width=14cm]{K6sp1}

Auflösen der Gl. (6.20 (b)) mit $ \lambda = 0$ nach $ \dot{\vartheta}$ und Einführen von $ \delta$ gibt:

$\displaystyle \dot{\delta}  =  \pm \sqrt{2} \omega_0  \sqrt{\varepsilon + \cos\delta}  =  \pm \sqrt{2} \omega_0  \sqrt{F(\delta)} .$ (621)

Die Nullstellen des Radikanden $ F(\delta)$ sind die Umkehrpunkte; in der $ \delta, F(\delta)$-Ebene sind dies die Schnittpunkte der Kurve $ \cos\delta$ mit den horizontalen Geraden $ \varepsilon = E/mgR $. Von diesen ausgehend sucht man den Bereich, in dem $ F(\delta) \geq 0$ ist (s. Abb. 6.5) .

Im Falle b) ( $ L_z \sim \lambda \neq 0$) gibt es nur einen einzigen Bewegungstyp: Der Massenpunkt bewegt sich in einer Kugelzone $ \vartheta_1 \leq \vartheta \leq \vartheta_2 $ (s. Abb. 6.6). Den Eintritt in die beiden Polkappenbereiche $ [0, \vartheta_1) $ und $ (\vartheta_2, \pi ]$ verhindert die Fliehkraft. Die Energie $ E$ auf der linken Seite von Gl. (6.20 (b)) ist eine endliche Konstante, der zweite Term auf der rechten Seite würde als einziger für $ \vartheta \rightarrow 0$ oder $ \vartheta \rightarrow \pi $ gegen Unendlich streben. Die Vermeidung dieses Widerspruchs führt zur eben erwähnten Einschränkung. An $ \vartheta = \vartheta_1$ und $ \vartheta = \vartheta_2$ ist $ \dot{\vartheta} = 0$. $ \vartheta_1 $und $ \vartheta_2$ sind die Wurzeln der Gl. (6.20 (b)) für $ \dot{\vartheta} = 0$.

Dabei gibt es auch einen Spezialfall ebener Bewegung: Der Massenpunkt läuft auf einem Breitenkreis:

$\displaystyle \dot{\vartheta}  \equiv 0:   \vartheta = \vartheta_1 = \vartheta_2 =$   const.$\displaystyle , \qquad \dot{\varphi}  =  \omega_0 \lambda / \sin^2\vartheta_1 .$ (622)

Für die weitere qualitative Diskussion und für die analytische und numerische Behandlung ist es zweckmässig, in Gl. (6.20 b)) folgende Substitution der abhängigen Variablen vorzunehmen:

$\displaystyle u =: \cos\vartheta, \quad \sin^2\vartheta = 1 - u^2 , \quad
\dot{\vartheta}  = d(\arccos u)/dt  =  - \dot{u}/\sqrt{1 - u^2}
$

und den resultierenden Ausdruck nach $ \dot{u}$ aufzulösen. Dadurch wird die zu diskutierende Gleichung aus einer transzendenten in eine Polynomgleichung verwandelt.
$\displaystyle \dot{u}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pm \sqrt{2} \omega_0  \sqrt{(1 - u^2)(\varepsilon - u) - \lambda^2/2}  := \
\pm \sqrt{2} \omega_0  \sqrt{P(u)} ;$ (623)
$\displaystyle P(u)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u^3 - \varepsilon u^2 - u + \varepsilon - \lambda^2/2 ,$ (624)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (u - u_1)(u - u_2)(u - u_3) .$  

Der physikalische Bereich von $ u$ ist definiert durch die simultanen Bedingungen:

$\displaystyle -1 \leq \cos\vartheta = u \leq 1 \quad \wedge \quad P(u) \geq 0 .
$

Er wird von zwei Nullstellen des Polynoms begrenzt. Diese werden willkürlich als $ u_1 = \cos\vartheta_1$ und $ u_2 = \cos\vartheta_2$ bezeichnet.

Zuerst wird nochmals der Fall des ebenen Pendels betrachtet:

$\displaystyle L_z \sim \lambda = 0: \quad \dot{u}  =  \pm \sqrt{2} \omega_0 \sqrt{(1-u^2)(\varepsilon - u)}  :=  \pm \sqrt{2} \omega_0 \sqrt{P_0(u)} .$ (625)

Zur besseren Einsicht in das Verhalten der Funktion $ P_0(u)$ suchen wir deren Extrema auf:
$\displaystyle P'(u)  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  P'_0(u)  =  3 u^2 - 2 \varepsilon u - 1  =  0.$  
$\displaystyle u'_{1,2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \varepsilon/3  \mp  \sqrt{(\varepsilon/3)^2 + 1/3};$ (626)
$\displaystyle P''(u'_{1,2})  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  P''_0(u'_{1,2})  =  \mp \sqrt{(\varepsilon/3)^2 + 1/3} .$  

Aus den obigen Gleichungen und aus Abb. 6.7 ersieht man:
Maximum:$\displaystyle \hspace{10mm} -1 \leq u'_1  <   0$ für $\displaystyle -1 \leq \varepsilon < \infty,$  
Minimum:$\displaystyle \qquad \sqrt{1/3} \leq u'_2 < \infty$ für $\displaystyle -1 \leq \varepsilon < \infty,$  
$\displaystyle u'_2 = 1$ für $\displaystyle \varepsilon = 1.$  

Abbildung 6.7: Die Extrema $ u'_{1,2}$ des Polynoms $ P'(u) = P'_0 (u)$ in Ihrer Abhängigkeit vom dimensionlosen Energieparameter $ \epsilon = E/mgR$. Notebook: K6SpherPlanePend.nb.
\includegraphics[height = 5cm]{K6msp1}
Abbildung: Links: Die Typen des Polynoms $ P_0(u)$. Rechts unten: Das Bild für $ P(u)$ ergibt sich, indem man die $ u$-Achse um $ \lambda ^2/2$ nach oben verschiebt. Rechts Mitte: Bei diesem Wert von $ \lambda ^2$ berührt die Kurve von $ P(u)$ gerade die $ u$-Achse: $ u_1 = u_2 = \cos\theta_1$. Notebook: K6SpherPlanePend.nb.
\includegraphics[width=12cm]{K6msp2}
Aus Gl. (6.25) ersieht man die Wurzeln der Gleichung $ P_0(u) = 0$, aus den Resultaten (6.26) den qualitativen Verlauf von $ P_0(u)$ zwischen den Nullstellen. Es gibt entsprechend den Typen a) der oben angegebenen Tabelle vier Typen von Diagrammen, s. Abb. 6.8.

Man erhält das Diagramm für $ P(u)$ und damit die Wurzeln der Gleichung $ P(u) = 0$ aus dem für $ P_0(u)$, indem man die $ u$-Achse um $ \lambda ^2/2$ nach oben verschiebt. Man sieht aus Abb. 6.8 rechts unten:


$\displaystyle -1 < u_1 \leq u \leq u_2 < 1 < u_3 .
$

Im speziellen Fall $ \dot{\vartheta} \sim \dot{u} = 0$ geht die $ u$-Achse durch das Maximum $ u = \bar{u}_1$. Daher ist der Polarwinkel des entsprechenden Breitenkreises durch den Wert der Energie (bzw. von $ \varepsilon $) festgelegt ( $ \vartheta_1 = \arccos\bar{u}_1 $).


Lineare Näherung für kleine Schwingungen

Für kleine Schwingungen bleibt der Massenpunkt in der Nähe der Ruhelage, der Polarwinkel dann nahe bei $ \pi$, der Winkel $ \delta$ nahe bei 0. In der linearen Näherung werden im Ausdruck der Kraft (des Potentials) Glieder höherer als erster (zweiter) Ordnung in $ \delta$ vernachlässigt:

$\displaystyle \cos\vartheta  =  \cos(\pi - \delta)  =  - \cos\delta  =  -1 +
\delta^2/2 - ...  \approx  -1 .
$

Der Fall ebener Bewegung ($ L_z = 0$) wurde in §12.2.2 bereits behandelt (dort $ \delta = \varphi$); es ergaben sich harmonische Schwingungen der Kreisfrequenz $ \omega _0 $ und der Schwingungsdauer $ T_0$, Gl. (6.20a).

Bei sphärischer Bewegung ( $ L_z \neq 0$) ist in der lineren Näherung $ z$ näherungsweise konstant, die zugehörige Beschleunigung Null; der Lagrange Multiplikator (nicht zu verwechseln mit dem dimensionslosen Drehimpulsparameter, Gl. (6.20c) kann aus der dritten Gl. (6.17) berechnet

$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle  R  \cos\vartheta  =  -R  \cos\delta  =  R  (-1 + \delta^2/2 + ...) \
\approx  -R  =  $   const.$\displaystyle  \Rightarrow$  
$\displaystyle \ddot{z}$ $\displaystyle \approx$ $\displaystyle 0: \quad 2 \lambda  =  mg/z  \approx  -mg/R .$  

und in die ersten beiden Gleichungen (6.17) eingesetzt werden:
$\displaystyle \ddot{x}_i$ $\displaystyle +$ $\displaystyle (g/R)  x_i  =  0, \quad i = 1,2;$  
$\displaystyle x_i$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_i  \cos (\omega_0 t + \varphi_i).$  

Die Lösungen sind harmonische Schwingungen der Schwingungsdauer $ T_0$, Gl. (6.20a). Die beiden Bewegungsgleichungen für die $ x_i$ entsprechen denen des zweidimensionalen, isotropen Harmonischen Oszillators. In §4.1.2 wurde bereits gezeigt, daß dessen Bahnkurve im allgemeinen eine zentrische Ellipse ist; die Länge und Lage der Halbachsen derselben hängen von den Anfangsbdingungen ab. Für geeignete Anfangsbedingungen kann man diese Näherungslösung schreiben als:

$\displaystyle x  =  a  \cos (\omega_0 t ), \quad y  =  b  \sin (\omega_0 t ), \quad z  \approx  - R .$ (627)

Abbildung: Projektion der Bahn eines sphärisches Pendel mit kleiner Schwingungsamplitude, 2^&cir#circ; $ \leq \delta \leq $6^&cir#circ;. Die Kreise sind die Projektionen der entsprechenden Breitenkreise. Die Kreisstücke aussen sind Teile der Projektion des Äquators $ \theta = \delta =$90^&cir#circ;. Notebook: K6SpherPend1.nb.
\includegraphics[width = 15cm]{K6sp2}


Strenge Lösung der Bewegungsgleichungen mittels elliptischer Integrale

Die Bewegungsgleichungen des sphärischen und des mathematischen Pendels können exakt mittels elliptischer Integrale und Funktionen gelöst werden. Dies soll in diesem Paragraphen vorgeführt werden.

a) Ebene Bewegung (mathematisches Pendel): $ \varphi  \equiv \varphi _0,  L_z = 0$.

a1) Schwingung: $ -1 < \varepsilon = E/mgR < 1,  0 < \delta_0 < \pi. $

Um das Verständnis der bei der Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung auftretenden elliptischen Integrale und Funktionen zu erleichtern, werden im folgenden der lineare und der nichtlineare Fall nebeneinander nach der gleichen Methode behandelt. ( $ \omega_0^2 = g/R,$ Gl. (6.20a)

Lineare Näherung

$\displaystyle \ddot{\delta}    +  \omega_0^2  \delta    $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  0 \big\vert\cdot 2 \dot{\delta}
\hspace*{14mm}$  
$\displaystyle \dot{\delta}^2  +  \omega_0^2  \delta^2  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  $   const.  

$ \qquad$ Exakte Gleichung

$\displaystyle \ddot{\delta}    +      \omega_0^2  \sin\delta  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  0 \big\vert\cdot 2 \dot{\delta}
\hspace*{20mm}$  
$\displaystyle \dot{\delta}^2  -  2 \omega_0^2  \cos\delta  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  $   const.  


Der maximale Ausschlag $ \delta _0$ ergibt sich für $ \dot{\delta} = 0;$ daraus wird die Integrationskonstante bestimmt. Der Zusammenhang mit $ \varepsilon $ folgt aus Gl. (6.21).


$\displaystyle \ddot{\delta}    +  \omega_0^2  \delta    $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \omega_0^2  \delta_0^2 ,$  
$\displaystyle d\delta/dt  =  \dot{\delta}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \pm  \omega_0 \sqrt{\delta_0^2 - \delta^2} .$  


    $\displaystyle \dot{\delta}^2  -  2 \omega_0^2  \cos\delta  =  -  2 \omega_0^2  \cos\delta \
=  2 \omega_0^2  \varepsilon,$  
    $\displaystyle d\delta/dt  =  \dot{\delta}  =  \pm  \omega_0 \sqrt{2 \cos\delta - 2 \cos\delta_0} .$ (628)


In der letzten Zeile muß das Vorzeichen immer passend gewählt werden. Beim maximalen Ausschlag des Pendels, $ \vert\delta\vert = \delta_0 = \arccos (- \varepsilon),$ ist der Radikand Null, das Pendel ändert seine Schwingungsrichtung, die Wurzel ihr Vorzeichen. Die obigen Differentialgleichungen können durch Separation gelöst werden. Man erhält die folgenden Integrale zur Anfangsbedingung $ t = 0: \delta = 0.$

$\displaystyle \omega_0 t  =  \int\limits_0^\delta \frac{d\bar{\delta}}{\sqrt{...
...its_0^\delta \frac{d\bar{\delta}} {\sqrt{2 \cos\bar{\delta} - 2 \cos\delta_0}}.$ (629)

Das linke Integral lässt sich elementar ausführen; das rechte muß durch folgende Substitution auf die Normalform für elliptische Integrale gebracht werden.
$\displaystyle k$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle \sin(\delta_0/2), \quad \Rightarrow \quad \cos^2(\delta_0/2)  =  1 - k^2.$  
$\displaystyle \sin(\delta/2)$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle k  \sin\psi \qquad \Rightarrow \quad \psi = \psi(\delta), \quad
...
...q \delta \leq  \delta_0 \quad \Rightarrow \quad  -\pi/2 \leq \psi \leq \pi/2.$  
$\displaystyle \cos^2(\delta_/2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - k^2  \sin^2 \psi.$  
$\displaystyle 2 \cos\delta - 2 \cos\delta_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2  [\cos^2(\delta/2) - \sin^2(\delta/2)]  - \
2  [\cos^2(\delta_0/2) - \sin^2(\delta_0/2)]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2  [1 - 2 k^2 \sin^2 \psi]  -  2  [1 - k^2]  =
 4 k^2 (1 - \sin^2\psi)  =  (2 k \cos\psi)^2 ;$  
$\displaystyle d\delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2  d(\arcsin(k \sin\psi))  =  2  (1 - k^2 \sin^2\psi)^{-1/2}  k  \cos\psi  d\psi.$  

Damit wird aus dem Integral in (6.29):

Lineare Näherung

$\displaystyle \omega_0 t  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \int\limits_0^{\delta/\delta_0} \frac{d(\delta/\delta_0)}{1 - (\delta/\delta_0)^2}
 =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle  \arcsin (\delta/\delta_0)  =  f(\delta,\delta_0) .$  

$ \quad\quad$ Exakte Gleichung

$\displaystyle \qquad \omega_0 t  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle   \int\limits_0^\psi \frac{d\bar{\psi}}{\sqrt{1 - k^2  \sin^2\bar{\psi}}} \
:=  F\big(\psi(\delta), k \big);$  
$\displaystyle k$ $\displaystyle :=$ $\displaystyle   \sin(\delta_0/2) ,$  
$\displaystyle \psi(\delta)  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \arcsin \frac{\sin(\delta /2)}{\sin(\delta_0/2)}.$  


Beide Integrale geben die der momentanen Lage $ \delta$ des Pendels entsprechende Zeit als Funktionen zweier Veränderlicher. Links sind dies der maximale Ausschlag $ \delta _0$ und der momentane Ausschlag $ \delta$, rechts ist die Abhängigkeit von diesen beiden Variablen etwas komplizierter. $ F(\psi ,k)$ ist das unvollständige elliptische Integral erster Gattung; es ist eine Funktion zweier unabhängiger Variablen, des Moduls $ k$ und der Amplitude $ \psi $. $ k$ wird durch den Maximalausschlag $ \delta _0$ festgelegt (oder gleichwertig auch die durch die Gesamtenergie $ E$ bzw. $ \varepsilon $). Die Amplitude $ \psi $ hängt vom momentanen Ausschlag $ \delta$ und vom maximalen $ \delta _0$ ab. In der neueren Literatur (Abramowitz-Stegun) und auch in Mathematica wird statt des Moduls $ k$ der Parameter $ m := k^2 = \sin^2 (\delta_0/2) $ verwendet.

Die Periode der Schwingung ist $ 4 \times$ die Zeit für eine Bewegung von 0 bis $ \delta _0$:


$\displaystyle \omega_0 T  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  4 \int\limits_0^{1} \frac{dx}{1 - x^2} =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle  4  \arcsin 1  =  2 \pi .$  
$\displaystyle T  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  2 \pi/\omega_0  =  T_0  =  2 \pi \sqrt{R/g} .$  


$\displaystyle \psi(\delta_0)  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \arcsin 1  =  \pi/2 ;$  
$\displaystyle \omega_0 T  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  4 \int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\bar{\psi}}{\sqrt{1 - k^2 \
\sin^2\bar{\psi}}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle  4  F(\pi/2, k)  :=  4  $   K$\displaystyle (k) .$ (630)


K(k) heisst vollständiges elliptisches Integral erster Gattung vom Modul $ k$. Damit schreibt man die Schwingungsdauer $ T$ des Pendels für beliebige Ausschläge

$\displaystyle \omega_0 T  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  4  $   K$\displaystyle (k)  =  4$   K$\displaystyle (\sin \delta_0 /2)  = \
4  \int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\bar{\psi}}{\sqrt{1 - k^2  \sin^2\bar{\psi}}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2 \pi  \Big[ 1  +  \Big( \frac{1}{2} \Big)^2  k^2
 +  \Big( \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4} \Big)^2  k^4  +  \dots \Big] ;$  
$\displaystyle T  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle T_0  \Big[ 1  +  \frac{1}{4} \sin^2(\delta_0/2)  + \
\frac{3}{8}\sin^4(\delta_0/2)  +  \dots \Big] .$ (631)

Abbildung 6.10: Das vollständige elliptische Integral K und die relative Schwingungsdauer $ T/T_0$ in Abhängigkeit vom halben Maximalausschlag $ \alpha = \delta _0/2$. Die Amplitudenabhängigkeit der Frequenz wird im Notebook K6MathPend2.nb simuliert.
\includegraphics[width=10cm]{K6mp3}
Man sieht, daß die Schwingungsdauer mit zunehmendem Maximalausschlag zunimmt, Abb. 6.10. Für $ \delta_0 < \pi$ ist $ k < 1 $ und T ist endlich. Für $ \delta_0 = \pi$ ist $ k = 1 $ und T ist unendlich; das Pendel schwingt nach oben, bis es verkehrt lotrecht steht. Dazu benötigt es aber unendlich lange Zeit. Diese Tatsachen folgen aus den Eigenschaften des vollständigen elliptischen Integrals erster Gattung, Abb. 6.10. Für dieses erhält man die obige Reihenentwicklung, indem man den Integranden in eine (für $ k < 1 $ absolut und gleichmässig konvergente) Binomialreihe entwickelt und dann gliedweise integriert:
K$\displaystyle (k)  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \int\limits_0^{\pi/2} d\bar{\psi} \
[1 - k^2  \sin^2\bar{\psi}]^{-1/2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle  \int\limits_0^{\pi/2} d\bar{\psi}  \Big[ 1  +  \frac{1}{2} \...
...si}
 +  \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}  k^4 \sin^4 \bar{\psi}  + \dots \Big] .$ (632)

Für $ k = 1 $ divergiert das Integral, die Schwingungsdauer wird unendlich.

K$\displaystyle (1)  =  \int\limits_0^{\pi/2} d\bar{\psi}  \frac{1}{ \cos \bar{\psi} }  =  \infty .$ (633)

Um den Ausschlag als Funktion der Zeit zu erhalten, muß man Gl. (6.29) nach der Zeit $ t$ auflösen. Links ist dies einfach, rechts wird dies in zwei Schritten ausgeführt. Zuerst drückt man die obere Grenze des Integrals als Funktion der Zeit aus. Die dabei auftretende transzendente Funktion heißt die Jacobische Amplitude $ \psi :=$   am$ ( \omega_0 t,k),$ Abb. 6.11. Aus dem Integral (6.34), das das elliptische Integral 1. Gattung definiert, ersieht man, daß für kleine $ k$ das Produkt $ \omega_0 t \approx \psi $ ist. Für $ k^2$ nahe bei 1, also $ \delta _0$ nahe bei 180^&cir#circ; überlagert sich noch eine mit $ T$ periodische wellige Kurve.

Im zweiten Schritt bildet man den Sinus und erhält die Funktion sn$ (\omega_0 t,k)  :=  \sin($am$ ( \omega_0 t,k))$ (sn = Sinus amplitudinis).
Lineare Näherung

$\displaystyle \omega_0 t  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \int\limits_0^{\delta/\delta_0} \frac{d(\delta/\delta_0)}{1 - (\delta/\delta_0)^2}
 =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle  \arcsin (\delta/\delta_0)$  
$\displaystyle \delta  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \delta_0  \sin(\omega_0 t)$  

$ \quad$ Exakte Gleichung

$\displaystyle \omega_0 t  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle   \int\limits_0^\psi
\frac{d\bar{\psi}}{\sqrt{1 - k^2  \sin^2\bar{\psi}}} \
:=  F\big(\psi(\delta), k \big)$ (634)
$\displaystyle \psi  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  $   am$\displaystyle ( \omega_0 t,k)$  
$\displaystyle \sin\psi  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \sin \big($   am$\displaystyle (\omega_0 t,k) \big)  =  $   sn$\displaystyle ( \omega_0 t,k)$  
$\displaystyle \sin \frac{\delta}{2}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \sin \frac{\delta_0}{2}  $   sn$\displaystyle ( \omega_0 t,k)$  
$\displaystyle \delta  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  2  \arcsin \big(\sin \frac{\delta_0}{2}  $   sn$\displaystyle (\omega_0 t,k) \big).$ (635)

Für $ k$ nicht zu nahe bei $ 1$ (nicht zu große Maximalausschläge $ \delta _0$) sieht die Funktion sn wie ein gewöhnlicher Sinus aus, nur hat sie die Periode 4K$ (k)$ statt $ 2 \pi$, Abbn. 6.11 und 6.12. Für $ k$ nahe bei $ 1$ wird der sn eckiger. (Durch die Wahl der Abszisse $ t/$K werden die sn für verschiedene Werte von $ k$ vergleichbar.) $ \vert $sn$ \vert \leq 1 $ für reelle Argumente. Deswegen oszilliert $ \delta$ in Gl. (6.35) zwischen $ - \delta_0$ und $ \delta _0$. Wegen seiner Periodizität kann sn in eine Fourierreihe entwickelt werden.

sn$\displaystyle (u,k)  =  \frac{2 \pi}{k \mbox{\bf K}}  \sum_{m=0}^\infty \fra...
...2}}{1 - q^{2m + 1}}  \sin \Big[ (2 m + 1)  \frac{\pi u}{2 \mbox{\bf K}} \Big]$ (636)

mit dem Nome:

$\displaystyle q($K$\displaystyle ) =: \exp [- \pi$   K$\displaystyle (\sqrt{1 - k^2})/$   K$\displaystyle (k) .$ (637)

Abbildung 6.11: Links: Die Jacobische Amplitudenfunktion für verschiedene Werte des Maximalausschlags $ \delta _0$. Rechts: Die Jacobische elliptische Funktion sn für verschiedene Werte des Maximalausschlags $ \delta _0$. Man beachte, daß als Abszisse $ t/T$ gewählt ist, damit die Kurven in ihrer Gestalt vergleichbar sind. Notebook: K6MathPend2.nb.
\includegraphics[width=15cm]{K6mp4}
Abbildung: Die Typen von Bewegungen eines ebenen Pendels ($ L_z = 0$) als Funktion der Zeit. Als Abszisse dient $ t/T_0$, um die unterschiedliche Länge der Perioden sichtbar zu machen. Notebook: K6MathPend2.nb.
\includegraphics[width=14cm]{K6mp5}

In Abb. 6.12 wird eine Schwingung mit mäßigen Maximalausschlag ( $ \delta_0 = 90$, lineare Näherung noch brauchbar) mit einer Schwingung mit Maximalausschlag $ \delta_0 = 175$ des gleichen Pendels verglichen. Man sieht, wie letztere wegen der längeren Periode hinter der ersteren zurückbleibt.

a2) Grenzfall: $ \varepsilon  =  E/mgR  =  1,   \delta_0  =  \pi. $

Das Pendel besitzt soviel Energie, daß es bis zur Vertikalen ausschwingen kann, wenn auch mit unendlich langer Periode, Gln. (6.30) und (6.33). Dieser Fall ist mit elementaren Funktionen lösbar. Aus (6.28) folgt mit der Anfangsbedingung $ t = 0:  \delta = 0, \dot{\delta} > 0: $

$\displaystyle \dot{\delta}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \omega_0  \sqrt{2} \sqrt{1 + \cos\delta}  = \
2 \omega_0  \cos(\delta /2)$  
$\displaystyle \int\limits_0^\delta  \frac{d\bar{\delta}}{\cos(\bar{\delta}/2)}
 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  2  \ln \left( \tan \frac{\delta + \pi}{4} \right)  =  2 \ome...
...i}{4}  =  \frac{1 + \tan(\delta/4)}{1 - \tan(\delta/4)}  = \
e^{\omega_0 t}$  
$\displaystyle \tan(\delta/4)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tanh(\omega_0 t/2), \quad \delta  = \
4  \arctan($tanh$\displaystyle (\omega_0 t/2)),
\quad \lim_{t \rightarrow \pm \infty} \delta  =  \pm \pi.$ (638)

a3) Rotation : $ \varepsilon  =  E/mgR  >  1. $

Das Pendel rotiert, daher nimmt $ \delta$ ständig zu (oder ab). Aus (6.21) gewinnt man wieder eine Differentialgleichung, die durch Separation gelöst werden kann. Der dabei auftretende Wurzelausdruck wird wieder durch eine Umformung und eine Variablensubstitution auf die Standardform des elliptischen Integrals erster Gattung gebracht:

$\displaystyle \dot{\delta}  =  \omega_0 \sqrt{2}  \sqrt{\varepsilon + \cos\d...
...delta/2)}  = \
\omega_0 \sqrt{2 (\varepsilon + 1)} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\psi}
$

mit dem Modul $ k$ und der Amplitude $ \psi $:

$\displaystyle k^2  := \frac{2}{\varepsilon + 1} < 1$   und$\displaystyle \quad
\psi  :=  \frac{\delta}{2}.
$

Mit der Anfangsbedingung $ t = 0:  \delta = 0$, $ \dot{\delta} > 0 $ ergibt sich:

$\displaystyle \sqrt{\frac{\varepsilon + 1}{2}}  \omega_0 t  =  \int\limits_0...
...\frac{d\psi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\psi}}  =  F\left(\frac{\delta}{2}, k\right)$ (639)

Für die Hälfte einer Umlaufperiode $ T$, innerhalb derer der Massenpunkt vom tiefsten bis zum höchsten Punkt läuft, findet man:
$\displaystyle \frac{\omega_0 T}{2k}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\psi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\psi}}  = \
\mathbf{K}(k),$  
$\displaystyle \omega_0 T  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  2 k \mathbf{K}(k)  =  \pi \sqrt{\frac{2}{\varepsilon + 1}}  ...
...cdot 4}\right)^2
\left(\frac{2}{\varepsilon + 1}\right)^2  +  \dots \right] .$ (640)

Um $ \delta$ als Funktion der Zeit zu bekommen, muß man Gl. (6.39) nach $ \delta$ auflösen. Die zu $ F$ inverse Funktion ist die Jacobische Amplitudenfunktion am; diese besteht aus einem linearen und einem mit $ 2\mathbf{K}(k)$ periodischen Anteil (Abb. 6.11, Links),

$\displaystyle u  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  F(\psi,k) \quad \Rightarrow \quad \psi  =  $   am$\displaystyle (u,k),$  
am$\displaystyle (u,k)  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi u}{2 \mathbf{K}}  +  \sum_{m=0}^\infty
\frac{q^{m + 1...
...m + 1)[1 + q^{2m + 2}]}  \sin \left[(m + 1)  \frac{\pi u}{\mathbf{K}} \right]$ (641)

mit dem Nome $ q(k)$ wie in (6.37). Damit bekommt man aus Gl. (6.39) eine Lösung, die genau die in der Geschwindigkeit mit der Periode $ T$ schwankende Rotation beschreibt:

$\displaystyle \delta  =  2  $   am$\displaystyle \left( \frac{\omega_0 t}{k},  k = \sqrt{\frac{2}{\varepsilon + 1}}\right) .$ (642)

Abb. 6.12 zeigt auch den zeitlichen Verlauf der ebenen Pendelbewegung im Grenzfall ( $ \varepsilon = 1 $, $ \delta_0 = 180^o$) , für schnelle $ (\varepsilon = 20)$ und langsame $ (\varepsilon = 1.01)$ Rotation.



b) Räumliche Schwingung zwischen zwei Breitenkreisen

Abgesehen von den Spezialfällen $ \dot{\varphi} \equiv 0$ und $ \dot{\vartheta} \equiv 0 $ sind die drei Wurzeln $ u_i$ des Polynoms $ P(u)$, Gl. (6.24), paarweise verschieden. Wegen $ P(1) = - \lambda^2 /2 < 0$ und $ \lim_{u \rightarrow \infty} P(u) = + \infty$ ist $ u_3 > 1$. $ u_3$ ist bekannt, sobald $ u_1$ und $ u_2$ gefunden worden sind; wofür meist ein numerisches Verfahren verwendet wird. Der physikalisch zulässige Bereich von $ u = \cos\vartheta$ ist durch die folgenden Bedingungen

$\displaystyle -1 \leq \cos\vartheta = u \leq 1 \quad \wedge \quad P(u) \geq 0 .
$

gegeben. In diesem wird Gl. (6.23) auf die Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung gebracht durch folgende Substitution:
$\displaystyle -1 < u_1$ $\displaystyle \leq u$ $\displaystyle \leq u_2 < 1 < u_3  =  \varepsilon - u_1 - u_2: \quad
\cos\vartheta  =  u  :=  u_1 + (u_2 - u_1)  \sin^2\psi.$  
$\displaystyle k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \sqrt{\frac{u_2 - u_1}{u_3 - u_1}}, \qquad
\psi  =  \arcsin\sqrt{\frac{u - u_1}{u_2 - u_1}}.$  
$\displaystyle \dot{u}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle  (u_2 - u_1)  2 \sin\psi  \cos\psi  \dot{\psi}  = \
\omega_0  \sqrt{2  P(u)} .$  
$\displaystyle P(u)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle  (u_2 - u_1)  \sin^2\psi  \left[ -(u_2 - u_1)(1 - \sin^2\psi) \right]
\big[(u_1 - u_3) + (u_2 - u_1)  \sin^2\psi \big]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle  (u_2 - u_1)^2 (u_3 - u_1)  \sin^2\psi  \cos^2\psi  \left(1 - k^2  \sin^2\psi\right) .$  
$\displaystyle \dot{\psi}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \omega_0  \sqrt{\frac{u_3 - u_1}{2}}  \sqrt{1 - k^2  \sin^2 \psi} .$  

$\displaystyle \sqrt{ \frac{u_3 - u_1}{2}}  \omega_0 t  =  \int_0^\psi \frac{d\bar{\psi}} {\sqrt{1 - k^2 \sin^2\bar{\psi}}}  =  F(\psi,k) .$ (643)

Die Schwingungsdauer $ T$ ist 4-mal die Zeit zwischen dem untersten und dem obersten Punkt der Bahn:

$\displaystyle \sqrt{ \frac{u_3 - u_1}{2}}  \omega_0  \frac{T}{4}  =  \int_0...
...\frac{\pi}{2},k\right)  =  K\left(\sqrt{\frac{u_2 - u_1}{u_3 - u_1}}\right) .$ (644)

Die Umkehrung des elliptischen Integrals in Gl. (6.43) geht analog wie nach Gl. (6.34):
$\displaystyle \psi  $ $\displaystyle =$ am$\displaystyle (\sqrt{\frac{u_3 - u_1}{2}}  \omega_0 t,k) ,$  
$\displaystyle \sin\psi  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin$   am$\displaystyle (\sqrt{\frac{u_3 - u_1}{2}}  \omega_0 t, k)  :=$   sn$\displaystyle (\sqrt{\frac{u_3 - u_1}{2}}  \omega_0 t,k))$  


$\displaystyle u  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  u_1  +  (u_2 - u_1)$   sn$\displaystyle ^2(\sqrt{\frac{u_3 - u_1}{2}} \
\omega_0 t,k))  =$  
$\displaystyle =  \cos\vartheta  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \cos\vartheta_1  +  (\cos\vartheta_2 - \cos\vartheta_1)$   sn$\displaystyle ^2(\sqrt{\frac{u_3 - u_1}{2}}  \omega_0 t,k)).$ (645)

Die Änderung von $ \varphi$ mit der Zeit $ t$ oder dem Hilfswinkel $ \psi $ berechnet man aus dem Drehimpulssatz (6.20c) zusammen mit der Lösung (6.45) oder der obigen Substitution für $ u$.
$\displaystyle \dot{\varphi}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \frac{\omega_0 \lambda}{\sin^2\vartheta}  = \
\frac{\omega_0 ...
...2}  , \qquad
\varphi(t)  =  \omega_0 \lambda \int_0^t \frac{dt}{1 - u^2}  .$  
$\displaystyle \frac{d\varphi}{d\psi}  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle  \frac{\dot{\varphi}}{\dot{\psi}}  = \
\frac{\lambda}{1  -  ...
... \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{u_3 - u_1}} \
\frac{1}{\sqrt{1 - k^2  \sin^2\psi}}  ;$  
$\displaystyle \varphi(\psi)  $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \
\frac{\sqrt{2}  \lambda }{\sqrt{ u_3 - u_1}}  \int_0^{\psi}
...
... } \
\frac{1}{1  -  \left[u_1 + (u_2 - u_1)  \sin^2\bar{\psi} \right]^2 } .$ (646)

Das letzte Integral kann durch elliptische Integrale dritter Gattung dargestellt werden:
    $\displaystyle \varphi(\psi)  =  \frac{\lambda \sqrt{2}}{\sqrt{u_3 - u_1}} \
...
...2,k)  + \
\frac{1}{1 + u_1}  \Pi(\psi,\alpha_2^2,k) \right] . \hspace{3.6cm}$  
mit$\displaystyle \hspace{5mm}$      
    $\displaystyle \alpha_{1,2}^2  =  (u_2 - u_1)(1 \mp u_1) .$  

Da deren Berechnung manchmal schwierig ist, kann es einfacher, wenn auch langsamer, sein $ \varphi(\psi)$ durch numerische Integration des obigen Integrals (6.46) zu bestimmen. Dies wird erleichtert durch die Symmetrieeigenschaften:

$\displaystyle \varphi(\psi)  =  - \varphi(-\psi); \quad \varphi(\psi \pm \pi)...
...\varphi(\psi + \pi/2)  =  \pi - \varphi(\psi); \quad 0 \leq \psi \leq \pi/2.
$

Einer vollen Periode $ T$ in der Zeit $ t$ entspricht ein Zuwachs der Hilfsvariablen $ \psi $ von 0 bis $ 2 \pi$. Deswegen ist der Zuwachs von $ \varphi$ in einer Periode:

$\displaystyle \varphi(2\pi)  =  4  \varphi(\pi/2)  =  2\pi + \Delta\varphi .
$

Die numerische Auswertung zeigt, daß $ \Delta\varphi$ sehr klein ist für kleine Schwingungen (vgl. Gl. (6.27) und Abb. 6.9). Für Schwingungen endlicher Amplitude ist $ \Delta\varphi > 0$; dies gibt einen Zuwachs des Azimuts eines bestimmten Punktes (z.B. $ \vartheta = \vartheta_1) $ im Laufe einer Periode (s. Abbn. 6.13 und 6.14). Daher ist im allgemeinen die Bewegung nicht periodisch sondern mehrfach periodisch. Es gibt aber Ausnahmefälle streng periodischer Bewegung, s. Animationen im Notebook: K6SpherPend2.nb.
Abbildung 6.13: Polarwinkel $ \theta $, Zeit $ t$ und Azimuth $ \phi $ eines sphärisches Pendels als Funktionen des Hilfswinkels $ \psi $. $ \vartheta_1 = 160,  \vartheta_2 =
110.$ Notebook: K6SpherPend1.nb.
\includegraphics[width = 12.5cm]{K6sp3}
Abbildung 6.14: Projektion der räumlichen Schwingung eines sphärischen Pendels auf die $ x,y$-Ebene. $ \vartheta_1 = 160,  \vartheta_2 = 110  $. Die erste Periode wurde rot, die zweite blau strichliert gezeichnet. Die perspektivische Darstellung dieser Bahnkurve wurde bereits in Abb. 6.6 gezeigt. Notebook: K6SpherPend1.nb.
\includegraphics[width=8cm]{K6sp4}

Christian Sommer 2003-01-27