Spezielle Relativitätstheorie und Relativistische Mechanik

Einführung

Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Grundannahmen (= Prinzipien), dem

1. Relativitätsprinzip, und dem
2. Prinzip von der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit c.

Beide Annahmen werden durch experimentelle Befunde nahegelegt. Doch geht auch eine gewisse philosophische Grundeinstellung darin ein.

Das Relativitätsprinzip

Wiederholung der Definition eines Inertialsystems aus §8.1:
In einem solchen System gehorcht ein Massenpunkt dem I. Newtonschen Axiom: ''Ein Massenpunkt bleibt in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, wenn keine Kraft auf ihn einwirkt.'' Ein solches System ist realisiert in einem Bezugssystem, das sich relativ zum Fixsternhimmel in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung befindet.

Das Einsteinsche Relativitätsprinzip besagt, daß alle physikalischen Vorgänge in allen Inertialsystemen bei sonst gleichen Bedingungen gleich ablaufen. Es ist durch kein Experiment möglich, eine absolute Geschwindigkeit eines Systems festzustellen. Daher muß auch die mathematische Beschreibung aller physikalischen Vorgänge in allen Inertialsystemen gleichartig sein (Kovarianz).

Ein Spezialfall dieses Einsteinschen Relativitätsprinzips ist das Galileische Relativitätsprinzip, das nur für die klassische Mechanik (Mechanik für Teilchengeschwindigkeiten $\ll c$) gilt: Man kann aufgrund mechanischer Experimente keine Aussagen über den Bewegungszustand eines gleichförmig bewegten Systems, in dem man sich befindet, machen.

Galileitransformation

Dies sind Transformationsgleichungen zwischen zwei gleichförmig bewegten Systemen: Der Ursprung $0'$ des Systems $S'$ (das ''bewegte'' System: Koordinaten $x'$, $y'$, $z'$, Zeit $t'$) bewegt sich relativ zum System $S$ (das ''ruhende'' System, $x$, $y$, $z$, Ursprung 0, Zeit $t$),s. Abb. 10.1, mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$:

Abbildung: Ruhendes und bewegtes System; für beide gibt es eine gemeinsame Uhr, Gl. (10.2).

$$\vec{r}{ '} = \vec{r} - \vec{v} t ,$$ (101)

$$t' = t ,$$ (102)

$$\dot{\vec{r}}{ '} = \dot{\vec{r}} - \vec{v}.$$ (103)

Die vorletzte Gleichung beschreibt die absolute Zeit, unabhängig vom Bewegungszustand des Systems. (Eine einzige Uhr, die von allen Punkten aller Systeme aus abgelesen wird.)

In der Mechanik gibt es nur Kräfte, die zwischen Teilchen wirken und nur von deren gegenseitiger Lage abhängen. Weiters wirken sie in der Verbindungsgeraden der Teilchen.

Bewegungsvorgang von $S$ aus betrachtet:

$$m_1 \ddot{\vec{r}}_1 = \vec{F}_{12} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2),$$ (104)

$$m_2 \ddot{\vec{r}}_2 = \vec{F}_{21} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2),$$ (105)

$$\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21} .$$ (106)

Derselbe Vorgang vom System $S'$ aus betrachtet:

$$\vec{r}_1{\hspace{-1mm}'} - \vec{r}_2{\hspace{-1mm}'} = (... ...{r}_1 - \vec{v} t) - (\vec{r}_2 - vt) = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 .$$ (107)

Daraus folgt: Die Kräfte sind in beiden Systemen gleich, weil sie nur vom relativen Abstand abhängen und dieser in beiden Systemen gleich ist. Aus den Transformationsgleichungen (10.3) und (10.2) folgt:

$$\dot{\vec{r}}_{1,2}{\!\!\!\!\!'} = \dot{\vec{r}}_{1,2}$$ (108)

$$\ddot{\vec{r}}_{1,2}{\!\!\!\!\!'} = \ddot{\vec{r}}_{1,2}$$ (109)

da $\vec{v} =$const. für gleichförmige Bewegung. Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichungen im System $S'$:

$$m_1 \ddot{\vec{r}}_1{\hspace{-1mm}'} = \ \vec{F}_{12}{\hspace{-2mm}'}\; \left(\vec{r}_1{\hspace{-1mm}'}... ...space{-1mm}'}\right) = \ \vec{F}_{12}\left(\vec{r}_1 - \vec{r}_2\right),$$ (1010)

$$m_2 \ddot{\vec{r}}_2{\hspace{-1mm}'} = \vec{F}_{21}{\hspace{-2mm}'}\; \left(\vec{r}_1{\hspace{-1mm}'} ... ...space{-1mm}'}\right) = \ \vec{F}_{21}\left(\vec{r}_1 - \vec{r}_2\right).$$ (1011)

Die Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik sind nicht invariant gegenüber den Galileitransformationen (10.1) - (10.3). Eine Reihe von Experimenten hat aber gezeigt, daß elektromagnetische Vorgänge in beiden Systemen, $S$ und $S'$, genau wie die mechanischen Vorgänge in gleicher Weise ablaufen. Um das Relativitätsprinzip zu erfüllen, muß man die Transformationsgleichungen (10.1) - (10.3) modifizieren; dies gibt die Lorentztransformationen.

Prinzip der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit c

$$c := 2,99792458 \cdot 10^8$$    m/s .

Gemäß diesem Prinzip ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ sowohl vom Bewegungszustand des Beobachters als auch von dem der Lichtquelle völlig unabhängig (bei alleiniger Betrachtung von Inertialsystemen). In jedem Inertialsystem findet man, z.B., für die Ausbreitung der Wellenfront eines Lichtblitzes den Wert $c$, selbst wenn die Quelle relativ zu diesem System in gleichförmiger Bewegung ist. Bei der Schaffung der Elektrodynamik zu Ende des vergangenen Jahrhunderts hielt man für die Ausbreitung der elektromgnetischen Wellen ein Medium (den sogenannten Äther) für nötig analog wie die Luft (oder einen anderen elastisch deformierbaren Körper) für die Ausbreitung von Schallwellen.

Außerdem glaubte man (irrigerweise), daß ds Relativitätsprinzip notwendigerweise die Galileitransformation (10.1) - (10.3) nach sich zieht. Daraus schloß man (irrigerweise), daß die Elektrodynamik das Relativitätsprinzip nicht erfüllt und daß es ein ausgezeichnetes Koordinatensystem gibt, das im ''"Ather'' ruht. Man versuchte nun einen ''"Atherwind'' festzustellen, der dadurch entstehen sollte, daß sich die Erde bei ihrer Revolution um die Sonne relativ zum Äther bewegt.

Die Messung der Schallgeschwindigkeit kann im Prinzip auf einer Meßstrecke erfolgen mit Nachrichtenübermittlung mittels elektrischer oder optischer Signale (deren Geschwindigkeit ($c$) groß gegenüber der zu messenden Schallgeschwindigkeit ist) vom Anfang zum Ende der Strecke (Messung der ''Einweggeschwindigkeit''). Ein derartiges Vorgehen ist bei der Messung der Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ nicht möglich, da man keine Art von Signalen kennt, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit groß gegen $c$ ist. Man ist daher gezwungen, das Lichtsignal, dessen Ausbreitungsgeschwindigkeit gemessen werden soll, am Ende der Messtrecke zu reflektieren und kann daher nur die Laufzeit für Hin- und Rückweg messen (''Zweiweggeschwindigkeit''). Das wichtigste der diesbezüglichen Experimente war der Michelsonversuch: (Im Äther ist die Lichtgeschwindigkeit gemäß der damaligen Ansicht $= c$, für andere Systeme muß man gemäß (10.3) umrechnen, (Abb. 10.2(a)). Der gesamte Meßapparat bewegt

Abbildung 10.2: a) Der Michelsonversuch. b) Lichtweg bei Reflexion an $S_1$.

[]

[]

sich relativ zum Äther mit der Geschwindigkeit $v$. Ein Beobachter im mitbewegten System $S'$ stellt folgende Laufzeit $t_1$ für den Weg PS$_2$P fest (P = Position des halbdurchlässigen Spiegels):

$$t_1 = \frac{\ell_2}{c-v} + \frac{\ell_2}{c+v}$$ (1012)

Ebenso ergibt sich im mitbewegten System aus

$$c^2 t^2_2 = v^2 t^2_2 + \ell_1^2 ,$$

$$t^2_2 (c^2 - v^2 ) = \ell_1^2 \quad \Rightarrow \quad t_2 = \frac{\ell_1}{\sqrt{c^2 - v^2}}$$

folgende Zeit $t_3$ für den Lauf PS$_1$P (Abb. 10.2(b)):

$$t_3 = 2 \frac{\ell_1}{\sqrt{c^2 - v^2}}.$$

Aus den beiden Laufzeiten

$$t_1 = (c + v + c - v) \frac{\ell_2}{c^2 - v^2} = \ 2 \frac{\ell_2 c}{c^2 - v^2} = 2 \frac{\ell_2 /c}{1- \beta^2}$$

$$t_3 = 2 \frac{\ell_1 / c}{\sqrt{c^2 -v^2}}$$

mit

$$\beta := \frac{v}{c}$$ (1013)

ergibt sich folgender Zeit- und damit auch Phasenunterschied im Beobachtungsfernrohr:

$$\Delta t := t_3 - t_1 = \frac{2}{c}\left[\frac{\ell_1}{\sqrt{c^2 - v^2}} - \ \frac{\ell_2}{1 - \beta^2}\right].$$

Ist der Apparat um 90^&cir#circ; verdreht, ergeben sich folgende Änderungen und folgender Laufzeit- und Phasenunterschied:

$$\ell_1 \rightarrow \ell_2, \qquad t_1 \rightarrow t'_1 = t_3 , \qquad \qquad t_3 \rightarrow t'_3 = t_1 ;$$

$$\Delta t' := t'_3 - t'_1 = \frac{2}{c}\left[\frac{\ell_1}{1 - \beta^2} - \ \frac{\ell_2}{\sqrt{1 -\beta^2}} \right].$$

Wird nun das Interferometer während des Beobachtugsvorganges gedreht, sollte dadurch folgender Laufzeit- und damit auch Phasenunterschied resultieren:

$$\tau = \Delta t' - \Delta t = \frac{2}{c} \ \left[\frac{ \ell... ... + \frac{\ell_2}{1 - \beta^2} - \frac{\ell_2}{\sqrt{1 - \beta^2}}\right]$$

$$\tau = 2 \frac{\ell_1 + \ell_2}{c} \left[ \frac{1}{1 - \beta^2} - \ \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \right].$$ (1014)

Der unerwartete Nulleffekt konnte nur durch eine zusätzliche Hypothese (Fizgerald, Lorentz) erklärt werden: Bei Bewegung relativ zu Äther verkürzen sich Längen in der Bewegungsrichtung um den Faktor $\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}$; Längen in den transversalen Richtungen bleiben unverändert. Dann erhält man in den obigen Gleichungen für

$$\ell_1 = \ell_2 : \qquad \Delta t = \Delta t' = 0 \ \quad \Rightarrow \quad \tau = 0.$$

Damit sind aber noch nicht alle Schwierigkeiten beseitigt; um den negativen Ausgang weiterer Experimente deuten zu können, waren noch zusätzliche Hypothesen über die Zeitdilatation und die Veränderung der Kräfte bei Bewegung relativ zum Äther erforderlich. Der Äther wird damit unbeobachtbar. Einstein vereinfachte 1905 die Situation in radikaler und revolutionärer Weise, indem er den Äther für die Lichtausbreitung für unnötig erklärte und die Gültigkeit des Relativitätsprinzips für alle physikalischen Vorgänge forderte. Weiters postulierte er, daß die Vakuumlichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen den Wert $c$ hat. Er analysierte den Begriff der Gleichzeitigkeit und zeigte, daß jedes Inertialsystem seine eigene Zeit hat und daß Zeitangaben von einem System ins andere mittels der Lorentztransformation durchgeführt werden müssen.

Ableitung der Lorentztransformationen

System $S$: Koordinaten $x_i, (i = 1,2,3),$ Zeit $t$;
System $S'$: Koordinaten $x'_i, (i = 1,2,3),$ Zeit $t'$.
Zur Vereinfachung der Berechnung seien die beiden Koordinatensysteme parallel und die Geschwindigkeit des Ursprungs von $S'$ liege in der 1-Achse von $S$:

$$v_i = v \delta_{1i} .$$ (1015)

Zur Zeit $t = t' = 0$ sollen die Ursprünge $x = x' = 0$ zusammenfallen und zu dieser Zeit werde ein Lichtblitz vom Ursprung ausgesendet. Zur in $S$ gemessenen Zeit $t$ ist die Wellenfront an $r = \sqrt{x_i x_i} = c t.$ Es gilt dann:

$$c^2 t^2 - x_i x_i = 0.$$ (1016)

Diese Gleichung muß invarianten Charakter haben, daher gilt in $S' (c' = c !)$:

$$c^2 t'^{2} - x'_i x'_i = 0.$$ (1017)

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird $x_0 := c t$ und $x'_0 := c t'$ gesetzt. Man fordert nun eine lineare Transformation:

$$x'_\alpha = \sum_{\alpha = 0}^3 a_{\alpha\beta} x_\beta .$$ (1018)

Für die Linearität einer Transformation zwischen $S$ und $S'$ sprechen folgende Tatsachen:

1. Die Homogenität und Isotropie des freien Raumes.
2. Die Bewegung eines kräftefreien Teilchens relativ zu einem Inertialsystem wird durch eine lineare Gleichung in den $x_i$ beschrieben. Dies muß für jedes Inertialsystem gelten. Die obige Transformation aus einem Inertialsystem in ein anderes muß daher eine lineare Gleichung wieder affin in eine solche transformieren.

Bei unserer Wahl der Bewegungsrichtung gilt:

$$x_2 = x'_2 , x_3 = x'_3,$$ (1019)

d.h. wir können von den Koordinaten $x_2$ und $x_3$ völlig absehen und die weiteren Überlegungen in der 0,1-Ebene durchführen:

$$x'_0 = a_{00} x_0 + a_{01} x_1 ,$$ (1020)

$$x'_1 = a_{10} x_0 + a_{11} x_1 .$$ (1021)

Setzt man diese Gln. in die aus Gln. (10.16) und (10.17) sich ergebende Bedingung ein, so folgt:

$$x'^{2}_0 - x'^{2}_1 \equiv x^{2}_0 - x^{2}_1,$$

$$(a_{00}^2 - a_{10}^2) x^{2}_0 + 2 (a_{10} a_{11} - a_{00} a_{01}) x_0 x_1 \ + (a_{01}^2 - a_{11}^2) x^{2}_1 \equiv x^{2}_0 - x^{2}_1,$$

$$\Rightarrow \quad a_{00}^2 - a_{10}^2 = 1, \qquad a_{10} a_{11} - a_{00} a_{01} = 0, \qquad a_{01}^2 - a_{11}^2 = -1.$$

Die erste Gleichung der letzten Zeile wird durch den nachfolgenden Ansatz befriedigt:

$$a_{00} : = \cosh u , \quad a_{10} := \sinh u ;$$

aus der zweiten folgt:

$$a_{10}/ a_{00} = a_{01}/ a_{11} = \tanh u ,$$

$$a_{01} = \rho \sinh u , \quad a_{11} = \rho \cosh u,$$

daraus wegen der dritten:

$$\rho^2 = 1, \quad \rho = \pm 1 .$$

Es wird $\rho =1$ gewählt. Denn für $\rho = -1$ erhielte man aus (10.20) und (10.21) eine Transformationsgleichung, bei der entweder die Zeit umgekehrt und/oder das Rechtssystem im Raum in ein Linkssystem transformiert werden würde. Es ist also:

$$x'_0 = x_0 \cosh u + x_1 \sinh u ,$$ (1022)

$$x'_1 = x_0 \sinh u + x_1 \cosh u .$$ (1023)

Der Ursprung von $S$' bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v$ relativ zu $S$ (Gl. (10.15)):

$$\beta := v/c , \quad x'_1 = 0 , \quad x_1 = \beta x_0.$$ (1024)

Damit folgt aus obigen Transformationsgleichungen:

$$0 = x_0 \sinh u + x_0 \beta \cosh u , \quad \tanh u = - \beta < 1,$$

und durch Umrechnung:

$$\underline{\cosh u} = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 u}} = \ \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} := \underline{\gamma},$$

$$\underline{\sinh u} = \frac{\tanh u}{\sqrt{1 - \tanh^2 u}} = \ \frac{\beta}{\sqrt{1 - \beta^2}} := \underline{-\;\beta\gamma}.$$

Damit haben wir die Lorentztransformation für eine Bewegung längs der $x$-Achse mit der Geschwindigkeit $v = \beta c$ abgeleitet:

$$\begin{array}{cclcccclc} x'_0 &=& \qquad \gamma x_0 & - \... ...3, &&& x'_3 & = & x_3 . & \mbox{(d)} [1mm] \end{array}$$ (1025)

Die inversen Transformationen erhält man durch Auflösung des obigen Gleichungssystems, einfacher noch durch Anwendung des Relativitätsprinzips (Wechsel des Systems ist gleichbedeutend mit Umkehr der Geschwindigkeit):

$$\beta \rightarrow - \beta, \quad x'_i \rightarrow x_i, \quad x_i \rightarrow x'_i;$$

$$c t = \frac{c t' + \beta x'_1}{\sqrt{1 - \beta^2}},$$ (1026)

$$x_1 = \frac{x'_1 + v t'}{\sqrt{1 - \beta^2}},$$ (1027)

$$x_2 = x'_2,$$ (1028)

$$x_3 = x'_3 .$$ (1029)

Diese Lorentztransformationen bilden eine Gruppe. Alle physikalischen Größen transformieren sich gemäß diesen Transformationsgleichungen.

Das augenscheinlichste Ergebnis dieser neuen Transformationsgleichungen ist, daß die Zeit keine Invariante mehr ist. Als Grenzfall für $v \ll c$ und $\beta \ll 1$ enthalten obige Gleichungen die Galileitransformationen, Gln. (10.1) - (10.3).

Folgerungen aus den Lorentztransformationen und deren experimentelle Überprüfung

Für einen Beobachter B in $S$ ist $S$ das ''Ruhesystem'' und $S'$ das ''bewegte System''; für einen Beobachter B$'$ in $S'$ verhält es sich gerade umgekehrt. Wir nehmen von den obigen Lorentztransformationen nur die Gleichung für die zur Systembewegung parallele Komponente und die Zeit.

$$\beta \:= \frac{v}{c} < 1, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} > 1;$$

$$x' = \gamma (x - vt), \qquad\quad x = \gamma (x' + vt') ;$$ (1030)

$$t' = \gamma (t - \frac{v}{c^2} x), \qquad\quad t = \gamma (t' + \frac{v}{c^2} x') .$$ (1031)

Relativierung des Begriffes der Gleichzeitigkeit

In jedem System werden alle Uhren untereinander synchronisiert. Z.B. wird zur Zeit $t = 0 = t'$ vom Ursprung $x = x' = 0$ ein Lichtblitz ausgesendet. In jedem System befindet sich bei jeder Uhr ein Spiegel, der den Lichtblitz zum Ursprung reflektiert. Die Hälfte der ganzen Laufzeit ist dann die Zeit, die die Uhr in dem Moment anzeigen muß, als bei ihr der Lichtblitz eingetroffen ist.

B$'$ stellt fest, daß zwei Ereignisse an verschiedenen Orten seines Systems gleichzeitig eingetreten sind:

$$(x', t')_1 = (0,0),$$

$$(x', t')_2 = (a',0).$$

Z.B. sind die Ereignisse das Aufblitzen von Lichtern und diese Lichtblitze treffen bei dem in $x' = a'/2$ befindlichen Beobachter B' gleichzeitig ein. Gemäß Gln. (10.30b) und (10.31b) gilt dann für den Beobachter B in $S$:

$$(x, t)_1 = (0,0),$$

$$(x, t)_2 = \left(a' \gamma, \gamma \frac{v}{c^2}\right).$$

Dem Beobachter B erscheinen die beiden Ereignisse also nicht gleichzeitig. Wenn, umgekehrt, B zwei Ereignisse an verschiedenen Orten gleichzeitig erscheinen, so sind diese für B$'$ nicht gleichzeitig. Die Gleichzeitigkeit ist also ein Begriff, der jeweils nur in einem System Sinn hat, also keine Invariante der Transformationsgruppe ist.

Zeitdilatation

Wir betrachten zwei Ereignisse, die im Ursprung von $S' (x' = 0)$ zu den Zeiten $t' = 0$ und $t' = \Delta t$ stattfinden (etwa Ablesen einer Uhr, die sich im Ursprung befindet).

$$(x', t')_1 = (0,0), \hspace{68mm}$$

$$(x', t')_2 = (0, \Delta t').$$

$$\hspace{18mm}$$

$$(x, t)_1 = (0,0),$$

$$(x, t)_2 = (\gamma v \Delta t', \gamma \Delta t').$$

Daß B für die beiden Ereignisse verschiedene Ortskoordinaten mißt, ist aufgrund des Bewegungszustandes von $S$ leicht einsichtig. Daß B jedoch für den Zeitunterschied die von $\Delta t'$ verschiedene Zeitspanne $\gamma \Delta t'$ mißt, ist ein vom klassischen Standpunkt abweichendes Resultat. Da $\gamma \ge 1$ ist, ist $\Delta t \ge \Delta t'$. Man sagt daher auch: ''Bewegte Uhren gehen langsamer''. Genau dasselbe stellt B' für eine in $S$ ruhende Uhr fest; sie ist für B$'$ eine bewegte Uhr und scheint ihm langsamer zu gehen. Wir schreiben dies in der folgenden Form, weisen aber darauf hin, daß diese Gleichung mit grosser Vorsicht anzuwenden ist; eigentlich sollte man für Zeitumrechnungen immer Gleichung wie in den Lorentztransformationen benutzen.

$$\Delta t_{ruh.} = \gamma \Delta t_{bew.}$$ (1032)

Operationelle Beobachtung der Zeitdilatation
Beobachter B hat in seinem System längs der $x$-Achse an allen Orten Uhren aufgestellt und synchronisiert (in seinem System ist ja der Begriff der Gleichzeitigkeit sinnvoll). Die Uhren des Systems $S'$ (dort ruhend) fliegen an denen des Systems $S$ vorbei und werden mit den jeweils gegenüberliegenden Uhren von $S$ verglichen. Dies ergibt zu den Zeitpunkten $t=0$ bzw. $t = \Delta t$: Für einen Uhrenvergleich zum Nachweis der Zeitdilatation benötigt man mindestens 3 Uhren (z.B. in $S'$ in $x' = 0$; in $S$ in $x = 0$ und $x = \ell$).

Abbildung 10.3: Zeitanzeigen der Uhren in verschiedenen bewegten Systemen

Experimenteller Nachweis der Zeitdilatation an Myonen:
Myonen entstehen beim radioaktiven Zerfall des Pions (Pi-Mesons). Das Myon könnte als ein schweres Elektron bezeichnet werden ( $m_\mu = 206 m_e, m_\mu c^2 = 106$ MeV); es hat einen radioaktiven Zerfall mit einer Lebensdauer von $2.2 \mu$s:

$$\mu^- \longrightarrow e^- \bar{\nu}_e + \nu_\mu : \qquad N_\mu = N_0 e^{-\frac{t}{\tau_0}}.$$ (1033)

Das Pion wird mittels einer Kernreaktion erzeugt:

$$p + _1 \longrightarrow \pi^{\pm} + p + _2 ;$$

$$\pi^- \longrightarrow \mu^- + \bar{\nu}_\mu .$$

Myonen werden von einfallenden Teilchen der kosmischen Höhenstrahlung über die obige Pionenreaktion erzeugt und fliegen mit annähernd Lichtgeschwindigkeit weiter und können daher in $\tau_0 = 2.2 \mu$s höchstens eine Strecke von 660 m zurücklegen. Man kann die Myonen aber noch in Meereshöhe, also nach einem Flugweg von 6 - 10 km, nachweisen. Die aus der Lorentztransformation folgende Zeitdilatation erklärt diese Erscheinung.

Abbildung: Myonen in der Atmosphäre

Wenn ein Myon mit $\beta = 0.995$, d.h. $\gamma \approx 10$, fliegt, dann mißt man von der Erde aus anstelle von $\tau'_0 = 2.2 \mu$s die längere mittlere Lebensdauer von $\tau_0 = \gamma \tau'_0 = 22 \ \mu$s. Diese Zeit reicht aus, um eine Strecke von 6 km zurückzulegen. Dieser Effekt wurde bei Beobachtungen genau untersucht. Wegen des statistischen Charakters des Zerfallsgesetzes ist dieses Experiment nicht so einfach durchzuführen, wie in der obigen Abbildung schematisiert. Es wurden die Myonenzahlen in verschiedenen Höhen registriert und daraus die Lebensdauer deduziert.(s. J. H. Smith, §3.5).

Zwillingsparadoxon, Uhrenparadoxon

Zwei Uhren, eine fliegt im Raumschiff mit, die andere bleibt auf der Erde. (Von der Wirkung des Gravitationsfeldes auf die Uhr, die im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie behandelt werden kann, wird abgesehen.) Das Raumschiff beschleunigt bis nahe an $c$ und fliegt gleichförmig bis zu einem $c T_L = d_{\mbox{\scriptsize Erde}}$ entfernten Himmelskörper, kehrt dort um und fliegt gleichförmig wieder zurück.

Abbildung 10.5: Flug eines Raumschiffs von der Erde zur Sonne

Ein Beobachter, der am Startpunkt der Rakete in Ruhe zurückbleibt, mißt die folgende Flugzeit:

$$T_{\mbox{\scriptsize Erde}} = \frac{T_L c}{v} + \dots ... = \frac{T_L}{\beta} \ + \dots... \mbox{(Effekte der Beschleunigung)}$$

bis zum Eintreffen des Raumschiffes am Zielpunkt. Ein Beobachter im fliegenden Raumschiff liest von seiner Uhr die Zeit (= Eigenzeit)

$$T_0 = \frac{T_{\mbox{\scriptsize Erde}}}{\gamma} = \frac{T_L}{\gamma \beta}$$

ab. Da $\gamma \ge 1$ ist, scheint für ihn die Zeit langsamer vergangen zu sein. Wenn der Raumfahrer zurückkehrt, wird er weniger gealtert sein, als sein auf der Erde zurückgebliebener Zwillingsbruder (von Wirkungen des Gravitationsfeldes abgesehen !).

   z.B. Erde$$\longrightarrow \alpha$$-Centauri$$: T_L =$$   4.5 Jahre$$.$$

Annahme: $\beta = 0.9 \rightarrow \gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2} = 1/0.435$

$$T_0 = \frac{T_L}{\gamma\beta} = 0.435 \cdot 1.11 \cdot T_L = 0.485 T_L.$$

Im System des Raumfahrers zeigt die Uhr also nur etwa halb so viel Zeit, wie das Licht zur Bewältigung dieser Strecke braucht.

$$T_{\mbox{\scriptsize Erde}} = \frac{T_L}{\beta} = 1.11 T_L .$$

Für den auf der Erde verbliebenen Zwillingsbruder vergeht also währenddessen die 1.11-fache Zeit, die das Licht braucht, um von $\alpha$-Centauri zur Erde zu gelangen.

Die Anwendung der Speziellen Relativitätstheorie ist in diesem Falle eigentlich nicht gerechtfertigt, da Beschleunigungen auftreten. Die Behandlung obigen Vorganges nach der Allgemeinen Relativitätstheorie führt jedoch zum selben Ergebnis. (s. M. Born)

Das g-2-Experiment am Myonspeicherring bei CERN
Die Zeitdilatation kann auch beim g-2 Experiment im Myonenspeicherring beobachtet werden. Das Myon hat ein magnetisches Moment $\propto g$; dieses präzediert im Magnetfeld des Speicherringes s. Abb. 10.6(a). Die Präzessionsgeschwindigkeit gestattet es, die Größe von $g$ und damit des magnetischen Moments zu bestimmen. Die Präzession kann beobachtet werden, weil die Emission der Elektronen bzw. Positronen beim Zerfall des Myons

$$\mu^- \rightarrow e^- + \bar{\nu}_e + \nu_\mu , \qquad \mu^+ \rightarrow e^+ + \nu_e + \bar{\nu}_\mu .$$

eine Vorzugsrichtung in Richtung des magnetischen Momentes hat. Die emittierten Elektronen bzw. Positronen werden mit Zählern registriert. Aus der Abnahme der Zählrate kann die mittlere Lebensdauer der Myonen nach dem Zerfallsgesetz (10.33) bestimmt werden, aus der 'Modulation' der e-Potenz das gesuchte g-2. (s. Abb. 10.6(b)).

Abbildung: a) Der Myon-Speicherring. b) Zählrate der Elektronen bzw. Positronen

[]

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Dieses Problem wäre streng genommen auch nicht nach der Speziellen Relativitätstheorie lösbar. Wir setzen in der Lorentztransformation $v =$ Tangentialgeschwindigkeit der umlaufenden Myonen. Für $\gamma = 12.1$ ergibt sich theoretisch eine vom Laborsystem (der Erde) aus gemessene Lebensdauer von $t_0 = \gamma \tau_0 = 12.1\cdot 2.2 \mu$s $\; = 26.72 \mu$s. Gemessen wurde ein Wert von $26.15 \mu$s. Kleine Diskrepanz aufgrund von Meßfehlern.

Lorentzkontraktion

In $S'$ ruht ein Stab der Länge $\ell'_0$, d.h. ein Beobachter in $S'$ beschreibt die Endpunkte des Stabes mit den Koordinaten:

$$x' = 0$$   und$$\quad x' = \ell'_0.$$

Ein Beobachter B in $S$ mißt zur Zeit $t=0$ für die beiden Endpunkte die Koordinaten

$$x = \frac{x'}{\gamma} = 0$$   und$$\quad x = \frac{\ell'_0}{\gamma}.$$

B sagt , der Maßstab habe eine Länge $\ell_0 = \ell'_0 /\gamma$ , sei also aufgrund der Bewegung verkürzt. Doch gibt es kaum eine Möglichkeit, diese Lorentzkontraktion

$$\ell_0 = \frac{\ell'_0}{\gamma} = \ell'_0 \sqrt{1 - \beta^2} < \ell'_0 .$$ (1034)

experimentell zu beobachten.

Bei ausgedehnten Körpern muß man zusätzlich beachten, daß die von vom Beobachter weiter entfernten Punkten des Körpers ausgehenden Lichtstrahlen erst später eintreffen als die von näher gelegenen Teilen. Dadurch würde ein solcher Körper verzerrt bzw. verdreht erscheinen.

Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Ein System $S'$ bewege sich mit $v < c$ relativ zu $S$. Ein weiteres System $S''$ bewege sich mit $u < c$ relativ zu $S'$. Dann ist die Summe $u + v > c$. Da aber auch $S''$ die Grenzgeschwindigkeit $c$ nicht überschreiten kann, kann die obige Addition der Geschwindigkeiten nicht richtig sein. Tatsächlich liegt ein Trugschluß vor; dieser wird nur vermieden, wenn man bei jedem Wert der Geschwindigkeit die Zeit des betreffenden Systems benutzt.

Abbildung 10.7: Zum Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Beide Systeme, $S'$ und $S''$, bewegen sich in $x$-Richtung:

• $S'$ relativ zu $S$ mit Geschwindigkeit $v$;
• $S''$ relativ zu $S'$ mit Geschwindigkeit $u: x'' = 0, x' = ut'$;
• $S''$ relativ zu $S$ mit Geschwindigkeit $w = x/t.$

$$w = \frac{x}{t} = \frac{\gamma}{\gamma} \frac{x' + v t'}... ...+ v t'}{t' + \frac{v}{c^2} u t'} = \frac{u + v}{1 + \frac{u v}{c^2} }.$$

Damit lautet das Additionstheorem für die (gleichgerichteten) Geschwindigkeiten:

$$w = \frac{u + v}{1 + \frac{u v}{c^2} }.$$ (1035)

Es gilt also nicht mehr das vektorielle Addieren von Geschwindigkeiten wie in der klassischen Mechanik. Auch folgt daraus, daß die resultierende Geschwindigkeit immer kleiner ist als $c$, wenn nur $u$ und $v$ kleiner als $c$ sind. (Z.B.: $u = v = 0.9 c \Rightarrow w = \frac{1.80}{1.81} c < c$.)

Eine experimentelle Überprüfung des obigen Additionstheorems ergibt sich aus dem Fizeauschen Mitführungsversuch:

Abbildung: Fizeauschen Mitführungsversuch.

Eine Flüssigkeit mit Brechungsindex $n$ fließt mit Geschwindigkeit $v$. In der ruhenden Flüssigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit $u = c/n$. Die Lichtgeschwindigkeit im Labor (bei fließendem Wasser) beträgt:

$$w = \frac{u + \frac{c}{n}}{1 + \frac{v c}{c^2 n}} = \le... ...dots \right) = \frac{c}{n} + v \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) + \dots$$

in Übereinstimmung mit dem Experiment.

Verallgemeinerung der Lorentztransformation

Bisher wurde angenommen, daß die relative Geschwindigkeit der beiden Systeme S und S' parallel zur $x$-Achse ist. Nun sei der Vektor der Geschwindigkeit von S' relativ zu S gleich $\vec{v}$. Um die Gesetzmäßigkeit anwenden zu können, die sich in den Formeln (10.25) zeigt, zerlegen wir den Vektor $\vec{r}$ in eine Komponente parallel zu $\vec{v}$ und in eine senkrecht zu $\vec{v}$. Die senkrechte Komponente bleibt unverändert. Für die Zeittransformation ist statt $x$ die Projektion von $\vec{r}$ auf $\vec{v}$ zu setzen.

Abbildung: Zur Lorentztransformation bei einer Systemgeschwindigkeiten $\vec{v}$ in allgemeiner Richtung.

$$\vec{r} = \vec{r}_{\Vert} + \vec{r}_{\bot} = \frac{\vec{v} \ (\vec{r} \cdot \vec{v})}{v^2} + \left( \vec{r} - \frac{\vec{v} (\vec{r} \cdot \vec{v})}{v^2}\right)$$

$$\vec{v}_{\Vert} + \hspace{5mm}\vec{r}_{\bot}$$

Eine gleiche Zerlegung wird auch für $\vec{r}{ '}$ vorgenommen. Aus Gln. (10.25) folgt sinngemäß:

$$\vec{r}_{\bot}{\!\!\!'} = \vec{r}_{\bot}, \qquad \vec{r}_{\Ve... ...ace{-1mm}'} = \ \gamma \left(\vec{r}_{\Vert} - \vec{v} t \right) .$$

In diese Formel werden die obigen Zerlegungen für $\vec{r}$ und $\vec{r}'$ eingesetzt:

$$\vec{r}{ '} = \vec{r}_{\bot}{\!\!\!'} + \vec{r}_{\Vert}{\hspace{-1mm}'} = \ \left( \vec{r} - \frac{\vec{v} (\vec{r}\cdot\vec{v})}{v^... ... \gamma \left( \vec{r}_{\Vert}{\hspace{-1mm}'} - \vec{v} t \right) =$$

$$= \left( \vec{r} - \frac{\vec{v} (\vec{r}\cdot\vec{v})}{v^2... ... \left(\frac{\vec{v} (\vec{r} \cdot \vec{v})}{v^2} - \vec{v} t\right).$$

Damit ist die Lorentztransformation für die Bewegung von S relativ zu S' mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ gefunden:

$$\vec{r}{ '} = \vec{r} + \vec{v} \left[ \frac{(\vec{r} \cdot \vec{v})}{v^2}\ (\gamma - 1) - \frac{1}{c}\gamma c t \right] ,$$ (1036)

$$c t' = \gamma c t - \gamma \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{c} .$$ (1037)

Diese Lorentztransformationen bilden keine Gruppe. Denn das Hintereinanderausführen von Lorentztransformationen zu den Geschwindigkeiten $\vec{v}_1$ bzw. $\vec{v}_2$ (mit $\vec{v}_1 \Vert \hspace*{-2mm} / \hspace*{2mm} \vec{v}_2$ ) gibt im allgemeinen eine Transformation, die auch eine Drehung enthält. Wenn man aber die räumliche Drehgruppe dazunimmt, dann erhält man eine Gruppe, die Lorentzgruppe.

Vierdimensionale Vektorrechnung, die Minkowskiwelt

Da in der Relaltivitätstheorie die Zeit $t$ eine system- und ortsabhängige Größe ist, muß sie zusammen mit den Ortskoordinaten $x$, $y$, $z$ zur systembezogenen Beschreibung eines physikalischen Ereignisses herangezogen werden. Es ist zweckmäßig, die Zeit $t$ als 4. Komponente eines Vektors zu schreiben. Damit diese 4. Komponente die gleiche Dimension hat wie die drei ersten Komponenten, wird der Lichtweg $x_0 = c t$ statt der reinen Zeit gewählt. Der Raum dieser vierdimensionalen Vektoren heißt die Minkowskiwelt. Diese wird unten in der rechten Spalte eingeführt. Zum Vergleich werden die analogen bekannten Formeln der üblichen dreidimensionalen Vektorrechnung in der linken Spalte angegeben. Die Minkowskiwelt ist nicht euklidisch. Deswegen gibt es hier ko- (Index unten) und kontravariante Koordinaten (Index oben); und dies muß bei der Definition des skalaren Produktes berücksichtigt werden.

3-dimens. Euklidischer Raum
    Koordinaten:

$$x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z;$$

Vektor:

$$\vec{r} \hat{=} x_i = (x_1, x_2, x_3),$$

$$i,j,k,... = 1,2,3;$$

Summationsübereinkommen für wiederholte Indices von 1 bis 3.
Inneres Produkt zweier Vektoren:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

$$= a_i b_i ;$$

Norm des Ortsvektors

$$\vec{r}^{ 2} = x^2 + y^2 + z^2 = x_i x_i ;$$

4-dimens. Minkowskiwelt
    kontravariante Koordinaten:

$$x^0 = c t, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z .$$ (1038)

4-Vektor der Raum-Zeit:

$$X \hat{=} x^\mu = \left(x^0, x^1, x^2, x^3\right) = \left(x^0, \vec{r}\right) = \left(x^0, x^i\right).$$

$$\mu, \nu , ... = 0,1,2,3.$$ (1039)

Summationsübereinkommen für wiederholte lateinische Indices von 1 bis 3; griechische Indices von 0 bis 3.
Inneres Produkt zweier 4-Vektoren:

$$A\cdot B := a^0 b^0 - a^1 b^1 - a^2 b^2 - a^3 b^3 =$$

$$= a^0 b^0 - a_i b_i =$$ (1040)

$$= a^\mu b_\mu = g_{\mu\nu} a^\mu b^\mu = g^{\mu\nu} a_\mu b_\mu .$$ (1041)

Norm des Raum-Zeit-Vektors:

$$X^2 = X \cdot X = \left(x^0\right)^2 - \left(x^2\right)^2 - \left(x^2\right)^2 - \left(x^3\right)^2 =$$

$$= x^{\mu} x_{\mu} = (c t)^2 - x^2 - y^2 - z^2$$ (1042)

$$= (c\tau)^2$$ (1043)

Die Variable $\tau$ heißt die Eigenzeit; sie wird mit einer Uhr gemessen, die im Ursprung, $\vec{r}$ des Systems des beobachteten Teilchens ruht. Die Definition des inneren Produkts zweier Vierervektoren gemäß (10.40) wird verständlich, wenn man auf Gl. (10.42) schaut: Das innere Produkt zweier Vektoren muß invariant bleiben, im dreidimensionalen Ortsraum beim Drehungen, in der Minkowskiwelt bei Drehungen im Ortsraum, insbesondere auch bei Lorentztransformationen. Bei letzteren muß aber die Wellenfront eines Lichtblitzes immer eine Kugel sein, d.h. es muß $x^2 + y^2 + z^2 - (c t)^2 = - [(c t)^2 - x^2 - y^2 - z^2]$ invariant bleiben. Das zwingt uns zu einer entsprechenden Definition des inneren Produkts wie oben in Gl. (10.41) mittels eines ko- oder kontravarianten Maßtensors. Dieser ist hier immer diagonal und hat konstante Elemente:

$$g_{\mu\nu} = g^{\mu\nu} := \left( \begin{array}{crrr} 1 &0&0&0 0 & -1 &0&0 0 &0& -1 &0 0 &0&0& -1 \end{array} \right).$$ (1044)

Mittels des Maßtensors kann man ko- in kontravariante Vektoren umrechnen und umgekehrt; man kann ''Indices hinauf- und hinunterziehen'':

$$x_\mu = g_{\mu\nu} x^\mu = (x_0, x_1, x_2, x_3) = (x^... ... -x^2, -x^3) = \ (c t, - x, -y, -z) ; \quad x^\mu = g^{\mu\nu} x_\mu .$$

Es gibt auch Definitionen des Maßtensors, bei denen die Vorzeichen gerade vertauscht sind, also ein $-1$ in der 1. Zeile, drei $1$ in den nachfolgenden Zeilen.

Eine andere Möglichkeit die Invarianz der kugelförmigen Wellenfront und damit der obigen quadratischen Form einzuhalten, besteht darin, statt des reellen Lichtwegs $x_0$ im Raum-Zeit-Vektor eine vierte rein imaginäre Komponente einzuführen, also diesen Vektor folgendermaßen zu definieren:

$$X = (x_1, x_2, x_3, x_4) = (\vec{r},x_4) = (x, y, z, ix_0 = i c t)$$   mit$$\quad X \cdot X = x^2 + y^2 + z^2 - (c t)^2 =$$   inv.

Das war die ursprüngliche Definition Minkowskis; darin erspart man sich die Unerscheidung von ko- und kontravarianten Komponenten. Dafür muß man komplex Rechengrößen in Kauf nehmen, während bei Benutzung der obigen Definitionen mit Maßtensoren alle Rechnungen im Rellen bleiben. Deswegen hat sich diese durchgesetzt.

Den Koordinatentransformationen im dreidimensionalen Euklidischen Raum entsprechen hier die Lorentztransformationen:

Koordinatentransformationen:

$$x'_i = a_{ij} x_j;$$

Drehung des Koordinatensystems:

$$\left( \begin{array}{c} x^{'}_{1} [2mm] x^{'}_{2} [2mm] x^{'}_{3} [2mm] \end{array} \right) =$$

$$= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} [2mm] a... ...array}{c} x_{1} [2mm] x_{2} [2mm] x_{3} [2mm] \end{array} \right) .$$

Lorentztransformationen:

$$X' = LX \quad \hat{=} \quad x'^{\mu} = L^\mu_{ \nu} x^{\nu}.$$ (1045)

Lorentztransformation für Bewegung längs der $x$-Achse, Gl. (10.25):

$$L = \big( L^\mu_{ \nu} \big) = \left( \begin{array}{cccc... ...[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 [2mm] - \beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \end{array} \right)$$ (1046)

Lorentztransformation für Vektor $\vec{v}$ (= ''boost''), Gln. (10.36) und (10.37):

$$L = \big( L^\mu_{ \nu} \big) = \left( \begin{array}{c\ve... ...j_{ 0} [1mm] \hline \vspace*{1mm} L^0_{ k} & L^j_{ k} \end{array} \right)$$ (1047)

mit

$$L^j_{ k} = \delta^j_{ k} + (\gamma - 1) \frac{v^{j} v_{k}}{v^2} , \quad L^0_{ 0} = \gamma ,$$

$$L^j_{ 0} = \frac{\gamma v^{j}}{c} , \qquad L^0_{ k} = \frac{\gamma v_{k}}{c} .$$

Die Matrix der Lorentztransformation (10.47) ist in Kästchenform geschrieben. In der linken oberen Ecke steht das Element $L^0_{ 0}$. Rechts davon stehen in der Zeile noch 3 Elemente. In der rechten unteren Ecke ist eine 3 x 3 Matrix; davor steht eine Spalte mit 3 Elementen.

Der Abstand zweier Punkte, insbesondere auch die Norm des Ortsvektors $\vec{r}$ sollen invariant sein gegenüber einer linearen Koordinatentransformation. Ebenso soll die Norm $s^2$ des Raum-Zeit-Vektors invariant gegenüber einer Lorentztransformation sein.

Drehungen:

$$\vec{r}{ '}^{2} = x'_{i} x'_{i} = a_{ij} a_{ik} x_{j} x_{k} =$$

$$\vec{r}^{ 2} = x_{k} x_{k} = \delta_{jk} x_{j} x_{k}$$

$$\vec{r}{ '}^{2} = \vec{r}^{ 2} = x_{i} x_{i} =$$

$$a_{ij} a_{ik} = \delta_{jk} = a_{ji} a_{ki} ,$$

$$\tilde{A} A = E = A \tilde{A} .$$

Lorentztransformationen:

$$s^2 := x_\nu x^\nu = (c t)^2 - x^2 - y^2 - z^2 =$$

$$x'_{\nu} x'^{\nu} = L_{\nu}^{ \mu} L^{\nu}_{ \lambda} x_{\mu} x^{\lambda} =$$

$$x_{\mu} x^{\mu} = \delta^{\mu}_{ \lambda} x_{\mu} x^{\lambda} .$$

$$\begin{array}{rcl} L_{\nu}^{ \mu} L^{\nu}_{ \lambda} & = ... ...em] \tilde{L} L & = E = & L \tilde{L} . \end{array}$$ (1048)

Die 3 x 3 Matrizen $\{A\}$ sind reell und orthogonal; sie bilden die Drehgruppe des ${\mathbb{R}} ^3$. Die Lorentztransformationen $\{L\}$ (4 x 4 Matrizen) bilden die Lorentzgruppe.

Summe und Differenz zweier Vektoren werden wie üblich durch die Summe bzw. Differenz der jeweiligen Komponenten definiert. Demgemäß definiert man das Differential des Ortsvektors bzw. des Raum-Zeit-Vektors. $d\tau$ ist das Differential der Eigenzeit, umgerechent gemäß Gl. (10.32).

$$d\vec{r} \; \hat{=} \; dx_i = (dx_1 , dx_2 , dx_3)$$

$$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 ,$$

$$ds^2 = dx_idx_i .$$

$$dX \hat{=} dx^{\mu} = (dx_0 , dx_1 , dx_2 , dx_3) .$$ (1049)

$$d\tau^2 = \frac{dt^2}{\gamma^2} = dt^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) ,$$

$$= dt^2 - \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2} ;$$

$$d\tau^2 = \frac{dx_{\nu} dx^{\nu}}{c^2} .$$ (1050)

Relativistische Kinematik

Bei der Definition des Geschwindigkeitsvektors ist zu beachten, daß die Ausdrücke $dx_i/dt$ nicht ganz angepaßt sind, weil $t$ selbst eine Koordinate ist. Man muß nach einem invariaten Parameter ableiten. Dafür wird die Eigenzeit $\tau$ verwendet. Man betrachtet den Raum-Zeit-Vektor $X$ als Funktion von $\tau$ und bildet die Ableitung nach $\tau$ , dies gibt die Vierergeschwindigkeit U. Die Ableitungen nach $\tau$ haben jedoch hauptsächlich theoretische Bedeutung, da z.B. Messungen meist im Ruhsystem des Beobachters, also im Laborsystem, ausgeführt werden. Man kann aber für $d\tau$ den Ausdruck $dt/\gamma$ substituieren (s. Gl. (10.32)).

$$\vec{r} = d \vec{r} (t) \hat{=} x_i = x_i (t).$$

$$\vec{v} = \frac{\vec{r} (t)}{dt} \hat{=} \dot{x}_i = \dot{x}_i (t),$$

$$= (\dot{x}_1, \dot{x}_2, \dot{x}_3) .$$

$$X = X(\tau) , \qquad x_\mu = x_\mu (\tau) .$$

$$U := \frac{d X}{d \tau} = \ \left( \frac{dx^0}{d \tau}, \frac{dx^1}{d \tau}, \frac{dx^2}{d \tau}, \frac{dx^3}{d \tau} \right)$$ (1051)

$$= \left(\gamma c, \gamma \dot{x}^1,\gamma \dot{x}^2, \gamma \dot{x}^3\right) .$$

Punkte bezeichnen Ableitungen nach $t$. Im Eigensystem des Teilchens gilt:

$$U' = (c,0,0,0), \qquad U^{'2} = c^2 .$$ (1052)

Da das skalare Produkt invariant ist, muß das letzte Resultat für jeden Vektor der Vierergeschwindigkeit in jedem System gelten:

$$U^2 = c^2 = u_\mu u^\mu = \frac{dx_\mu dx^\mu}{d\tau^2} = \frac{ds^2}{d\tau^2} = c^2 .$$ (1053)

Die Vierergeschwindigkeit kann also auch in dieser Weise geschrieben werden:

$$U = \gamma (c,\vec{v}).$$

Die Verallgemeinerung des 3-dimensionalen klassischen Impulses, Gl. (3.18), in die 4-dimensionale Minkowskiwelt führt zum Viererimpuls:

$$p_i = m \dot{x}_i ,$$

$$P := m_0 U = m_0 (c\gamma, \gamma \vec{v}) .$$ (1054)

Die Masse $m_0$ wird als die Ruhmasse (E. rest mass) bezeichnet und ist gleich der im Eigensystem des bewegten Teilchens gemessenen Masse; praktisch ist dies die Masse, die man bei geringer Teilchengeschwindigkeit mißt. Die bewegte Masse ist:

$$m := m_0 \gamma = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \beta^2}} .$$ (1055)

Der Raumanteil des Viererimpulses ist:

$$p_i = m \dot{x}_i = m_0 \gamma \dot{x}_i ; \quad \vec{p} = m \vec{v} = \frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1 - \beta^2}} .$$ (1056)

Er geht für geringe Teilchengeschwindigkeit in den gewöhnlichen klassischen Impuls (Gl. (10.54), linke Seite) über. Die 4. Komponente des Viererimpulses ist die Energie des Teilchens dividiert durch c. Denn nehmen wir diese Gleichsetzung vor und entwickeln in eine binomische Reihe

$$E = m c^2 = m_0 c^2 \big[1 - \beta^2 \big]^{-1/2} =... ... + ... \Big] = m_0 c^2 + \ \frac{1}{2} m_0 \vec{v}^{ 2} + ...$$

so sieht man, daß der 2. Term die klassische kinetische Energie darstellt, also müssen die anderen Terme auch Energien darstellen. $E_0 = m_0 c^2$ wird als die Ruhenergie (E. rest energy) der Masse $m_0$ bezeichnet. Der Viererimpuls wird auch als der Energie-Impulsvektor bezeichnet:

$$P = (E/c, \vec{p}) = (E/c, m \vec{v}) .$$ (1057)

Relativistische Dynamik

Für die Relativistische Dynamik muß eine Verallgemeinerung des zweiten Newtonschen Axioms aufgesucht werden. Die Erfahrung widerspricht Gleichungen der Art:

$$m_0 \ddot{\vec{r}} = \vec{F} ,$$   oder$$\qquad m \ddot{\vec{r}} = \vec{F} ;$$

auch vertragen sich solche Gleichungen nicht mit dem Kalkül der vierdimensionalen Minkowskiwelt. Zur Verallgemeinerung eignet sich die Form der klassischen Bewegungsgleichung in (3.17). Formal setzt man dann an wie in der rechten Spalte:

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \qquad\qquad \Bigg\vert \qquad\... ...ac{d u^\mu}{d \tau} = \gamma m_0 \frac{d}{dt} \gamma (c, \vec{v}) .$$ (1058)

Die ersten drei Komponenten dieser Bewegungsgleichung geben im Laborsystem

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \qquad \vec{p} = m_0 \gamma \dot{\vec{r}},$$ (1059)

falls für die drei raumartigen Komponenten der Viererkraft gesetzt wird:

$${\cal F}_i = \gamma \vec{F}_i .$$ (1060)

Um eine Aussage über die nullte (die zeitartige) Komponente der Viererkraft, ${\cal F}^0$, machen zu können, wird zuerst eine Hilfsrelation abgeleitet. Dazu werden die Vierergeschwindigkeit und die Viererkraft znächst im Ruhesystem angesetzt. Es zeigt sich, daß ihr skalares Produkt Null ist. Da dieses eine Lorentzinvariante ist, ist das Produkt in jedem System Null. Daraus kann man eine Formel für ${\cal F}^0$ ableiten:

$$U' = \gamma (c,\vec{0}), \quad {\cal F}' = (0,\vec{F}); \quad U' \cdot {\cal F}' = U \cdot {\cal F} = 0.$$

$$0 = U \cdot {\cal F} = g_{\mu\nu} u^\mu {\cal F}^\nu ... ...cal F}^i = c \gamma {\cal F}^0 - \gamma^2 (\vec{v} \cdot \vec{F}) ;$$ (1061)

mit $\vec{F}$ der Kraft auf das Teilchen. Daraus ergibt sich für die nullte Komponente der Viererkraft:

$${\cal F}^0 = \frac{\gamma}{c} \left(\vec{v} \cdot \vec{F}\r... ...} \left(\vec{F} \cdot d\vec{r}\right) = \frac{\gamma}{c} \frac{dA}{dt}.$$ (1062)

Für eine nicht zeitabhängige Kraft ist die nullte Komponente der Viererkraft proportional zur Leistung.

Für die Beschleunigung auf relativistische Geschwindigkeiten kommen fast nur Elementarteilchen oder Ionen in Frage. Für die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld besteht die Kraft aus zwei Anteilen:

$$\vec{F} = \vec{F}_L + \vec{F}_{St} .$$ (1063)

$\vec{F}_L$ ist die Lorentzkraft:

$$\vec{F}_L = e \vec{E} + e \vec{v} \times \vec{B} .$$ (1064)

Die Strahlungsrückwirkungskraft $\vec{F}_{St}$ entsteht dadurch, daß jede beschleunigte Ladung ein elektromagnetisches Feld (elm. Wellen) abstrahlt. Dieses Feld wirkt auf die Ladung zurück. Diese Strahlungsrückwirkungskraft ist sehr kompliziert zu berechnen. Da sie oft klein ist, wird sie meist in einem ersten Näherungsschritt weggelassen und erst in einem weiteren berücksichtigt, nachdem die Bewegungsgleichungen ohne diese gelöst worden sind. Unter dieser Vernachlässigung lautet dann die Bewegungsgleichung im Laborsystem:

$$\fbox{\parbox{7.5cm}{\begin{displaymath}\frac{d\vec{p}}{dt} = \... ...{v})}{dt} = e \vec{E} + e \vec{v} \times \vec{B}\end{displaymath}}} .$$ (1065)

Der relativistische Energiesatz

Für eine zeitunabhängige Kraft $\vec{F}$, die ein Potential $V$ besitzt:

$$\frac{\partial \vec{F}}{\partial t} = 0, \quad \frac{\partial V}{\partial t} = 0, \quad \vec{F} = - V,$$

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{d x_i... ... \dot{\vec{r}}) = - \frac{dA}{dt} = \frac{d ( m_0 \gamma c^2)}{dt} ;$$

gilt also:

$$\frac{d}{dt} \Big[ V + m_0 \gamma c^2 \Big] = 0.$$

Das ist die Gesamtenergie:

$$\fbox{\parbox{12.5cm}{\begin{displaymath}E = m_0 \gamma c^2 \... ...qrt{1 - \beta^2}} - 1 \right) + V = \mbox{const.} \end{displaymath}}}$$ (1066)

Gesamtenergie = Ruhenergie + kinetische Energie + potentielle Energie.

Einige Beispiele relativistischer Bewegungen

Bewegung eines elektrisch geladenen Teilchens in einem statischen
homogenen elektrischen Feld

Die Anfangsbedingungen werden in Richtung des elektrischen Feldes gewählt:

   Anfangsbedingung:$$\quad t = 0: z = \dot{z} = 0.$$

Damit erfolgt die Bewegung in einer Raumrichtung:

$$\vec{E} = (0, 0, E), \quad \vec{v} = (0,0,v), \quad \beta = v/c = \dot{z}/c .$$

Damit lautet die Bewegungsgleichung:

$$\frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{m_0 \dot{\vec{r}}... ...ac{d}{dt} \left( \frac{m_0 \dot{z}}{\sqrt{1 - (\dot{z}/c)^2}} \right) = eE.$$ (1067)

Diese Gleichung kann sofort nach der Zeit integriert werden. Die Anfangsbedingung verleiht der Integrationskonstanten den Wert 0. Die resultierende Lösung wird quadriert und nach $\beta^2 = \dot{z}^2/c^2$ aufgelöst.

$$\frac{m_0 \dot{z}}{\sqrt{1 - (\dot{z}/c)^2}} = e E t; \qquad \frac{m_0^2 ( \dot{z}^2/c^2) c^2}{1 - \dot{z}^2 / c^2} c^2 = (e E c t)^2 .$$

$$\frac{\beta^2}{1 - \beta^2} = \left(\frac{eEc t}{m_0 c^2} \r... ..._0} \right)^2, \qquad \beta^2 E_0^2 = (eEc t)^2 - \ \beta^2 (eEc t)^2.$$

$$\beta^2 = \left[ 1 + \left(\frac{E_0}{eEc t}\right)^2 \right]^{-1} < 1,$$

$$\frac{dz}{dt} = \dot{z} = \beta c = \frac{c}{\sqrt{1 + ... ... , \qquad dz = \frac{c dt}{\sqrt{1 + \left(\frac{E_0}{eEc t} \right)^2}} .$$

Diese Differentialgleichung kann durch Separation gelöst werden. Die Integration nach der Zeit $t$ wird durch folgende Substition ermöglicht:

$$\sinh u = \frac{eE}{E_0} dt, \qquad \cosh u du = \frac{eE}{E_0} c dt ;$$

$$dz = \frac{c \cosh u \frac{E_0}{eEc} du}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sinh^2 u}}} = \ \frac{\frac{E_0}{eE} \cosh u du}{\frac{\cosh u}{\sinh u}} ;$$

$$z = B + \int \frac{E_0}{eE} \sinh u du = B + \frac{E_0}{eE} \cosh u ,$$

$$z = B + \frac{E_0}{eE} \sqrt{1 + \left(\frac{eE}{E_0} c t\right)^2}.$$

Aus der Anfangsbedingung $t = 0: z = 0$ ergibt sich $B = E_0/eE$ und damit die endgültige Lösung:

$$\underline{z = \frac{E_0}{eE} \left[ \sqrt{1 + \left(\frac{eE}{E_0} c t\right)^2} - 1 \right]. }$$ (1068)

Diese Formel läßt sich auf folgende Form bringen:

$$\left[ \frac{eE}{E_0} z + 1 \right]^2 = 1 + \left(\... ...ight)^2 \quad \Longleftrightarrow \quad \bar{z}^2 - c \bar{t}^2 = -1.$$

Dazu dienen die neuen Variablen:

$$\bar{z} := \frac{eE}{E_0} z + 1, \qquad c \bar{t} := \frac{eE}{E_0} c t,$$

in denen die obige Bahngleichung die mathematische Form der Gleichung einer Hyperbel hat. Deswegen heißt die Bewegung ''Hyperbelbewegung'', obwohl die Bahn im Ortsraum eine Gerade ist.

Die obige Bahngleichung läßt zwei Näherungen zu: die eine für kleine Zeiten; die andere für große Zeiten.

Nichtrelativistische Näherung: Für kleine Zeiten ist der zweite Term in der Wurzel klein; man verwendet die ersten zwei Glieder der Binomialreihe:

$$z = \frac{E_0}{eE} \left[ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{eE}... ... c t\right)^2 + \dots \right] = \ \frac{eE}{m} \frac{t^2}{2} + \dots$$

und erhält die Lösung der klassischen Mechanik, weil die Geschwindigkeit gering ist im Vergleich zu $c$.

Extrem relativistische Näherung: Für große Zeiten ist der zweite Term der Wurzel groß; man zieht diesen vor die Wurzel und verwendet dann wieder die Binomialreihe für die resultierende Wurzel:

$$z = \frac{E_0}{eE} \left[ \left(\frac{eE}{E_0} c t\right) \sqr... ...t \frac{eE}{E_0} + \frac{1}{2} \frac{E_0}{ eE c t} - \dots - 1 \Big]$$

$$= c t - \frac{E_0}{eE} + \frac{E_0^2}{2 (eE)^2 c t} + \dots$$

Das Teilchen läuft hier nahezu mit der Lichtgeschwindigkeit $c$. Dies ergibt sich aus der Ableitung des vorstehenden Ausdrucks nach der Zeit:

$$\dot{z} = c \left[ 1 - \frac{E_0^2}{2 (eE)^2 (c t)^2} + \dots \right] .$$

Die relativistische Keplerbewegung

Die Kraft und das Potential sind dieselben wie im nichtrelativistischen Fall (§5.2):

$$\vec{F} = C \frac{\vec{r}}{r^3} = -$$   grad$$V, \quad V = \frac{C}{r}, \qquad C = - \gamma mM$$   oder$$\quad C = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \varepsilon_0}.$$

Die Bewegungsgleichung lautet dann:

$$\frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{m_0 \dot{\vec{r}}}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \vec{F} = C \frac{\vec{r}}{r^3} .$$ (1069)

Daraus folgt durch vektorielle Multiplikation mit dem Ortsvektor $\vec{r}$ die Drehimpulserhaltung

$$\frac{d}{dt} \vec{L} = \ \vec{r} \times \frac{d}{dt} \frac{m_0 \dot{\vec{r}}}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \ \frac{d}{dt} (\vec{r} \times \vec{p}) = 0;$$ (1070)

$$\vec{L} = \frac{m_0 \vec{r} \times \dot{\vec{r}}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \ = m_0 \left(\vec{r} \times \frac{d\vec{r}}{d\tau}\right).$$ (1071)

Damit ist auch hier die Bahn eben. Ebenso gilt der relativistische Energiesatz:

$$\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \beta^2}} + V =$$ (1072)

In beiden Erhaltungssätze werden Polarkoordinaten eingführt.

$$\vec{r} = (r \cos\phi, r \sin\phi, 0) ;$$

$$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = (\dot{r} \cos\phi - r \dot{\phi} \sin\phi, \dot{r} \sin \phi + r \dot{\phi} \cos\phi, 0) .$$

Das gibt für den Drehimpulssatz:

$$\vec{L} = m_0 \gamma (\vec{r} \times \vec{v}) = L \... ...{\phi}}{1 - \beta^2}; \qquad \dot{\phi} = \frac{L}{m_0 r^2}(1 - \beta^2).$$

Statt der Zeit wird wieder das Azimuth $\phi$ als unabhängige Variable eingeführt:

$$\dot{r} = \frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\phi}\frac{d\phi}{dt} = r' \dot{\phi} , \qquad r' := \frac{dr}{d\phi} .$$

Damit werden auch $\vec{v}^{ 2}$ und $\beta^2$ umgeschrieben; $\dot{\phi}^2$ wird durch den Drehimpuls ausgedrückt :

$$\vec{v}^2 = (\dot{\vec{r}}\cdot\dot{\vec{r}} ) = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 = \ (r'^{2} + r^2) \dot{\phi}^2 ,$$

$$\beta^2 = \frac{v^2}{c^2} = \frac{\dot{\phi}^2 (r'^{2} + r^2)... ...ight)^2 (1 - \beta^2) \left(\frac{r'^{2}}{r^4} + \frac{1}{r^2}\right) .$$

Statt $r$ wird wieder die neue abhängige Variable $s$ eingeführt:

$$s := \frac{1}{r}, \quad s' = \frac{ds}{d\phi} = \ \frac{ds}{dr}\frac{dr}{d\phi} = - \frac{r'}{r^2} .$$

$$\beta^2 = \left(\frac{L}{m_0 c}\right)^2 (s'^{2} + s^2) (1 - \beta^2) = D (1 - \beta^2) .$$

$$D := \left(\frac{L}{m_0 c}\right)^2 (s'^{2} + s^2), \qquad \beta^2 = D - D \beta^2, \quad \beta^2 = \frac{D}{1 + D}.$$

Das gibt letztlich:

$$\frac{1}{1 - \beta^2} = 1 + D.$$

Die neue Variable $s$ wird auch im Energiesatz eingeführt, der resultierende Ausdruck wird quadriert und dann die vorstehende Beziehung eingesetzt.

$$\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \beta^2}} = E - V = E - C s ;$$

$$(E - C s)^2 = \frac{m_0^2 c^4}{1 - \beta^2} = \ m_0^2 c^4 \left[ 1 + \left(\frac{L}{m_0 c}\right)^2 (s^{'2} + s^2) \right] ;$$

$$E^2 - 2 E C s + C^2 s^2 = m_0^2 c^4 + L^2 c^2 s^{'2} + L^2 c^2 s^2 .$$

Der obige Ausdruck wird nach $s'^{2}$ aufgelöst und dann zum Quadrat ergänzt. Dazu werden folgende Abkürzungen eingeführt:

$$\delta^2 := 1 - \left(\frac{C}{Lc}\right)^2 ; \qquad A := \frac{E^2 - m_0^2 c^4 \delta^2}{\delta^2 c^2 L^2} .$$

Dabei ist zu zeigen, daß $A^2 \ge 0$, d.h. $E^2 - m_0^2 c^4 \delta^2 \ge 0$ ist. Dazu wird die Definition des relativistischen Drehimpulses herangezogen:

$$L^2 = \frac{\left(m_0 r v \sin\alpha \right)^2}{1 - \beta^2} \quad \alpha = \vee (\vec{r}, \vec{v}) .$$

$$E^2 - m_0^2 c^4 \delta^2 = \frac{m_0^2 c^4}{1 - \beta^2} + \ \frac{2 m_0 c^2}{\sqrt{1 -... ...}{r} + \frac{C}{r^2} - m_0^2 c^4 + \ \frac{m_0^2 c^4 C^2}{c^2 L^2} ,$$

$$= \dots \hspace{62mm} + \frac{m_0^2 c^4 C^2 (1 - \beta^2)}{c^2 m_0^2 r^2 v^2 \sin^2\alpha } .$$

$$E^2 - m_0^2 c^4 \delta^2 = \frac{m_0^2 c^4 \beta^2}{1 - \beta^2} + \ \frac{2 m_0 c^2}{\... ...\beta^2}} x + x^2 \frac{1 - \beta^2 \cos^2\alpha}{\beta^2 \sin^2\alpha}$$

$$= \qquad d \qquad + \qquad 2 b x \qquad + \qquad a x^2 .$$

Nach der Theorie der quadratischen Gleichungen ist der obige Ausdruck in $x = C/r$ dann $> 0$, wenn die damit gebildete quadratische Gleichung keine reelle Nullstelle aufweist. Dies trifft aber zu, weil die Diskriminante $> 0$ ist:

$$- b^2 + a d = \frac{m_0^2 c^4}{1 - \beta^2} \Big[ 1 \... ...alpha}{\beta^2 \sin^2\alpha} \Big] = \ m_0^2 c^4 \cot^2\alpha \ge 0 .$$

$$L^2 c^2 s'^{2} = E^2 - m_0 c^4 - L^2 c^2 s^2 + C^2 s^2 - 2 E C s ,$$

$$s'^{2} = \left(\frac{E}{Lc}\right)^2 - \left(\frac{m_0 c}{L}\right)^2 ... ...2 \left[ 1 - \left(\frac{C}{Lc}\right)^2 \right] - \frac{2 E C s}{L^2 c^2},$$

$$= \left(\frac{E}{Lc}\right)^2 - \left(\frac{m_0 c}{L}\right)^2 - \ s^2 \delta^2 - \frac{2 E C s}{L^2 c^2},$$

$$= \left(\frac{E}{Lc}\right)^2 - \left(\frac{m_0 c}{L}\right)^2 ... ...2} \right)^2 - \delta^2 \left(\frac{EC}{(\delta c L)^2} \right)^2 \right] ,$$

$$= \left(\frac{E}{Lc}\right)^2 - \left(\frac{m_0 c}{L}\right)^2 ... ...right]^2 - \ \delta^2 \left[ s + \frac{EC}{(\delta c L)^2} \right]^2 ,$$

$$s'^{2} = A^2 - \delta^2 \left[ s + \frac{EC}{(\delta c L)^2} \right]^2 .$$

Beim Übergang zur letzten Zeile wurde noch folgende Umformung durchgeführt:

$$\frac{E^2}{L^2 c^2} - \frac{m_0^2 c^2}{L^2} + \frac{E^2 C... ...E \delta L c)^2 - (m_0 c^3 \delta L)^2 + E^2 C^2}{\delta^2 c^4 L^4} =$$

$$= \frac{E^2 ( \delta^2 L^2 c^2 + C^2 ) - (m_0 c^3 \delta L)^2}{... ...c{E^2 ( L^2 c^2 - C^2 + C^2 ) - (m_0 c^3 \delta L)^2}{\delta^2 c^4 L^4} =$$

$$= \frac{E^2 - m_0^2 c^4 \delta^2}{\delta^2 c^2 L^2} = A^2 .$$

Die obige Differentialgleichung für $s(\phi)$ wird durch folgende Substitution

$$u(\phi) := s(\phi) + \frac{EC}{(\delta c L)^2} , \quad u' = s'$$

in eine solche für $u$ verwandelt. Letztere wird durch Ziehen der Wurzel und Trennung der Variablen gelöst:

$$u'^{2} = A^2 - \delta^2 u^2, \quad \frac{du}{d\phi} = \sqrt{A^2 - \delta^2 u^2} = A \sqrt{1 - (\delta u / A)^2} ;$$

$$d\phi = \frac{du}{A \sqrt{1 - (\delta / uA)^2}} = \ \delta^{-1} \frac{d(\delta u/A )}{A \sqrt{1 - (\delta u/A)^2}} .$$

$$\phi - \phi_0 = \delta^{-1} \arcsin (\delta u/A) , \quad \delta u = \ A \sin[\delta (\phi - \phi_0)] .$$

Geeignete Wahl von $\phi_0$ gibt:

$$u = \frac{A}{\delta} \cos (\delta \phi) = s + \frac{EC}{(\delta c L)^2} = \ \frac{1}{r} + \frac{EC}{(\delta c L)^2} .$$

Damit ergibt sich die endgültige Form der Bahngleichung:

$$\fbox{\parbox{10.5cm}{\begin{displaymath}r = \frac{- \delta... ...= \frac{p}{1 - \varepsilon \cos (\delta \phi) } , \end{displaymath}}}$$ (1073)

mit den Parametern

$$p = - \frac{\delta^2 c^2 L^2}{EC} = C \frac{1 - \ \left(\frac{cL}{C}\right)^2}{E} ,$$ (1074)

$$\varepsilon = \frac{A \delta c^2 L^2}{EC} = \ \frac{cL}{EC} \sqrt{E^2 - m_0^2 c^4 \delta^2} =$$

$$= \left[ \frac{1 - \frac{\delta^2 m_0^2 c^4}{E^2} }{1 - \... ... + \delta^2 \left(1 - \frac{m_0^2 c^4}{E^2}\right)(1 - \ \delta^2) }.$$

$$\varepsilon = \sqrt{1 + \left(\frac{\delta L c}{EC}\right)^2 \left(E^2 - m_0^2 c^4\right)} .$$ (1075)

Aus der Form der Bahngleichung sieht man, daß für $\varepsilon < 1$ der Radius $r$ immer endlich bleibt, während er für $\varepsilon \ge 1$ gegen Unendlich strebt. Aus dem Ausdruck für $\varepsilon$ in der letzten Zeile ergibt sich, daß diese Unterscheidung zwischen den verschiedenen Bahnformen wieder vom Wert der Gesamtenergie $E$ abhängt. Wegen des Hinzutretens der Ruhenergie $m_0 c^2$ liegt die Grenze zwischen gebundenen und freien Zuständen nicht mehr bei $E = 0$ wie bei der nichtrelativistischen Lösung, sondern bei $E = m_0 c^2$ :

$$\begin{array}{lll} \quad - m_0 c^2 < E < m_0 c^2 \... ...ox{offene Bahnen, freie Zust\uml {a}nde, Streuung}. \end{array}$$

Die relativistische Massenveränderlichkeit bewirkt, daß die Bahnen der gebundenen Zustände nicht mehr geschlossen sind, es erfolgt eine Periheldrehung; deshalb bezeichnet man diese Bahnen als Rosettenbahnen. Mathematisch wird die Periheldrehung durch den Faktor $\delta$ im Argument der cos-Funktion der obigen Bahngleichung verursacht:

$$\quad t_1 = t_0: r = r_{\mbox{min}}: \delta \phi_{P_1} = \pi, \phi_{P_1} = \pi/\delta .$$

$$\mbox{Nach einem vollen Umlauf (um $2 \pi$)} $$

$$\quad t_2 = t_0 + T: \phi_2 = \pi/\delta + 2 \pi$$

$$\quad t_3 : \hspace{12mm} r = r_{\mbox{min}}: \delta \phi_{P_2} = 3 \pi, \phi_{P_2} = 3 \pi/\delta .$$

Für $\delta \neq 1$ ist $\phi_{P_1} \neq \phi_{P_2}$, dies entspricht einer Drehung des Perihels um den Winkel

$$\Delta \phi := \phi_{P_2} - \phi_{2} = \frac{3\pi}{\d... ...pi}{\delta} - 2 \pi = - 2 \pi \left(1 - \frac{1}{\delta}\right) .$$ (1076)

Aus der nichtrelativistischen Behandlung des Keplerproblems folgt:

$$\frac{F_{ell}}{\pi} = ab = a \sqrt{ -\frac{L^2}{mC}} ;$$

$$a^2 b^2 = a^4 (1 - \varepsilon^2) = -\frac{a^3 L^2}{m_0 C} \ = \frac{a^3 L^2}{\gamma m_0 M};$$

$$\frac{1}{L^2} = \left[a \left(1 - \varepsilon^2\right) \gamma m_0^2 M\right]^{-1} , \qquad \frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \pi^2}{\gamma M}.$$

Diese Formeln werden in die obige Formel für die Periheldrehung eingesetzt:

$$\Delta \varphi = \varphi_{P_{2}} - \varphi_{2} = 2 \pi ( \frac{1}{\del... ... \left[1 - \left(\frac{C}{cL}\right)^2 \right]^{-\frac{1}{2}} - 1 \right\} =$$

$$= 2 \pi \left( \left[ 1 + \frac{1}{2} (C/cL)^{2} + ... \right] - 1 \right) \ \approx \frac{\pi C}{c^2 L^2} ,$$

$$\approx \frac{\pi m_0^2 M^2 \gamma^2}{c^2 a \left(1 - \varepsilon^2\right) \gamma m_0^2 M} = \frac{\pi \gamma M}{c^2 a \left(1 - \varepsilon^2\right)}.$$ (1077)

Abbildung: Die Periheldrehung der relativistischen Keplerbewegung, Links: Die Bahn über mehrere Perioden betrachtet. Rechts: Rote Bahn: Start im Perihel bis zum nächsten; blau: Verlauf vom 2. bis zum 3. Perihel.

Die Periheldrehung ist umso größer, je kleiner $a$ (Merkur) und je näher $\varepsilon$ bei 1 liegt (Mars).
Die Präzession des Perihels des Planeten Merkur beträgt 5599.7$''$/Jahrhundert. Aus den bekannten Störungen (vor allem die Wechselwirkung der Planeten untereinander und über die Sonne) wurde eine Periheldrehung von 5557.0$''$/Jahrhundert berechnet. (Cl. M. Will: Theory and experiment in gravitational physics. Cambridge University Press 1993). Die Differenz von 47.7$''$/Jahrhundert war schon um 1900 bekannt und es wurde nach einer Erklärung gesucht. Gl. (10.77) liefert nur 1/6 dieser Differenz. Aus der allgemeinen Relativitätstheorie folgt ein Effekt der richtigen Größenordnung (Einstein, Dicke).

Bewegung eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld

Die Bewegungsgleichung wird wie im nichtrelativistischen Fall (§3.4.3) behandelt:

$$\frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d(m_0 \gamma \vec{v})}{dt} = e \vec{v} \times \vec{B} \Big\vert \cdot \vec{v}$$ (1078)

$$\vec{v} \cdot \frac{d(m_0 \gamma \vec{v})}{dt} = \frac{d(m_0 \gamma c^2)}{dt} = \ \frac{dE}{dt} = e(\vec{v} , \vec{B}, \vec{v}) = 0.$$

$$E = m_0 \gamma c^2 = \quad \Rightarrow \quad \gamma = \quad \Rightarrow \quad \vec{v} =$$

Dabei wurden Gln. (10.55) und (10.57) benützt. Es ergibt sich, daß die Gesamtenergie $E$, damit auch $\gamma$ und der Betrag der Geschwindigkeit konstant sind. Daher kann man in Gl. (10.78) durch $m_0 \gamma$ dividieren:

$$\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{e}{m_0 \gamma} \vec{v} \times \vec{B} .$$

Man kann jede Lösung der nichtrelativistischen Bewegungsgleichung (§3.4.3, Gl. (3.11)) in eine der relativistischen Gl. (10.78) verwandeln, indem man in der ersteren die Masse $m$ durch die bewegte Masse $m_0 \gamma$ ersetzt. Insbesondere ergibt sich bei Einschuß senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes eine Kreisbahn mit Radius $R$:

$$\vec{v} \perp \vec{B}: \qquad R = \frac{m_0 \gamma v}{\vert e... ...m_0 v}{\vert eB\vert \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{p}{\vert eB\vert}.$$ (1079)

Je näher die Teilchengeschwindigkeit an $c$ herankommt, desto schwerer wird das Teilchen, desto größer die Fliehkraft, deswegen wächst der Radius $R$ der Bahn immer weiter.

Wechselwirkung von Teilchen und Photonen

Gemäß der Lichtquantenhypothese (Einstein, 1905) besteht das Licht (wie jede elektromagnetische Welle) aus Korpuskeln (Photonen), denen eine Energie

$$E = h \nu,$$ (1080)

($h$ = Plancksches Wirkungsquantum) zukommt, und die sich mit der Geschwindigkeit $c$ bewegen; das ist nur möglich, wenn ihre Ruhmasse $m_0 = 0$ ist. Compton (1923) begründete, daß diesen Photonen auch der Impuls

$$\vec{p} = \frac{h \nu}{c} \vec{e}$$ (1081)

($\vec{e}$ = Einheitsvektor in Richtung der Ausbreitung der ebenen Welle) zukommt. Aus (10.53), (10.54) und (10.57) ergibt sich:

$$P^2 = g_{\mu\nu} P^\mu P^\nu = \frac{E^2}{c^2} - \vec{p}^{ 2} = m_0 c^2 .$$ (1082)

Daraus folgt mit $m_0 = 0$ und mit (10.80) der Betrag von (10.81). Mittels dieser beiden Gleichungen ist es möglich, Photonen dem relativistischen Energie- und Impulssatz zu unterwerfen und sie in die relativistische Kinematik einzubeziehen. Der Erfolg dieser Vorgangsweise ist eine Bestätigung der Hypothesen (10.80) und (10.81).

Abbildung 10.11: a) Der Comptoneffekt. b) Die Paarerzeugung

[]

[]

Der Comptoneffekt

Beim Comptoneffekt fallen Röntgenstrahlen der Frequenz $\nu$ auf fast freie, nahezu ruhende Elektronen in einem Paraffinblock, werden an diesen zur Frequenz $\nu'$ gestreut und verleihen diesen eine Geschwindigkeit $v$. Da der 1922 entdeckte Effekt mittels des Energie- und Impulssatzes der relativistischen Mechanik hergeleitet werden kann, bestätigt er die Vorstellungen von Gln. (10.80) und (10.81).

Der Energie vor und nach dem Stoß ist gleich:

$$h \nu + m_0 c^2 = h \nu' + m_0 c^2 \gamma.$$ (1083)

Statt des Impulssatzes in vektorieller Form wird für die Impulse in obiger Abb. 10.11(a) der Kosinussatz verwendet:

$$(m_0 \gamma v)^2 = \left(\frac{h \nu}{c}\right)^2 + \left(\frac{h \nu'}{c}\right)^2 - \frac{2h \nu \nu'}{c^2} \cos\theta.$$ (1084)

Wird Gl. (10.83) quadriert und davon Gl. (10.84) abgezogen, ergibt sich

$$(m_0 \gamma c)^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = m_0^2c^2 + 2 m_0 h (\nu - \nu') - \ \frac{2 h^2 \nu \nu'}{c^2} (1 - \cos\theta),$$

$$\frac{c (\nu - \nu')}{\nu \nu'} = \frac{c}{\nu'} - \frac{c}{\nu} = \lambda' - \lambda = \Delta\lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos\theta),$$

$$\Delta\lambda = \Lambda_0 (1 - \cos\theta), \qquad \Lambda_0 = \frac{h}{m_0 c} = 2.4 10^{-12} .$$ (1085)

Das Experiment bestätigt die Winkelabhängigkeit der Wellenlängenänderung $\Delta\lambda$ und den numerischen Wert der Comptonwellenlänge $\Lambda_0$ des Elektrons.

Die Paarerzeugung

Bei der Paarerzeugung wird ein Photon in ein Teilchen-, Antiteilchenpaar (Ladungserhaltung!) (Abb. 10.11(b)) verwandelt. Diese Reaktion ist im freien Raum nicht möglich, denn es können Energie- und Impulssatz nicht gleichzeitig erfüllt werden:

$$E_1 + E_2 = m_0 c^2 \gamma_1 + m_0 c^2 \gamma_2 = h \nu,$$

$$2 \le = \gamma_1 + \gamma_2 := \frac{h \nu}{m_0 c^2} := \varepsilon.$$ (1086)

$$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m_0 \gamma_1 \vec{v}_1 + m_0 \gamma_2 \vec{v}_2 = \ \frac{h \nu}{c} \vec{e}_x,$$

$$\gamma_1 \beta_1 \cos\theta_1 + \gamma_2 \beta_2 \cos\theta_2 = \varepsilon,$$ (1087)

$$\gamma_1 \beta_1 \sin\theta_1 + \gamma_2 \beta_2 \sin\theta_2 = 0.$$

Gl. (10.86) und die erste der Impulsgleichungen, Gl. (10.87), widersprechen sich, da $\beta_i \cos\theta_i < 1$ ist.

Abbildung 10.12: Paarerzeugung bei Anwesenheit eines dritten Teilchens

Die Paarerzeugung ist möglich, wenn an der Reaktion noch ein drittes Teilchen teilnimmt, das den Impuls aufnimmt. Meist ist dies ein Atomkern, der wesentlich schwerer ist als das erzeugte Elektron-, Positronpaar. Daher ist die Bewegung dieses schweren Partners nichtrelativistisch.
$M =$ Ruhmasse des Kerns; $m_0 =$ Ruhmasse des Elektrons, Positrons; $\mu := m_0/M \ll 1$.

$$M c^2 + h \nu = m_0 c^2 \gamma_1 + m_0 c^2 \gamma_2 + M c^2 \gamma_3 ,$$

$$\frac{h \nu}{m_0 c^2} = \varepsilon = \gamma_1 + \gamma_2 + \ \frac{M}{m_0} (\gamma_3 - 1) .$$ (1088)

Der Impulssatz gibt:

$$\vec{p}_1 \qquad\quad + \qquad\quad \vec{p}_2 \quad\quad + \qquad\quad \vec{p}_3 \qquad\qquad = \frac{h \nu}{c} \vec{e}_x ;$$

$$\gamma_1 \beta_1 \cos\theta_1 + \gamma_2 \beta_2 \cos\theta_2 + \ \frac{M}{m_0 \gamma_3 \beta_3} \cos\theta_3 = \varepsilon ,$$ (1089)

$$\gamma_1 \beta_1 \sin\theta_1 + \gamma_2 \beta_2 \sin\theta_2 + \ \frac{M}{m_0 \gamma_3 \beta_3} \sin\theta_3 = 0.$$ (1090)

Gln. (10.88) bis (10.90) sind ein System von 3 Gleichungen zur Bestimmung der 6 Unbekannten $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$, $\theta_1$, $\theta_2$, $\theta_3$. Man kann es, z.B., so auflösen, daß man die drei $\beta_i$ als Funktionen der drei Streuwinkel $\theta_i$ bekommt. Wir lösen nur den Spezialfall, daß das leichte Teilchenpaar symmetrisch ausläuft:

$$\theta_1 = - \theta_2 := \theta , \theta_3 = 0;... ...a_1 = \beta_2 := \beta ; \quad \gamma_1 = \gamma_2 := \gamma .$$

(10.90) ist dann trivial erfüllt, (10.88) und (10.89) geben dann:

$$2 \mu \gamma + (\gamma_3 - 1) = \varepsilon \mu , \quad 2 \mu \gamma \beta \cos\theta + \gamma_3 \beta_3 = \varepsilon \mu .$$

$$1 + \mu (\varepsilon - 2 \gamma) = \gamma_3, \quad \gamma_3 \beta_3 = \mu ( \varepsilon - 2 \gamma \beta \cos\theta) .$$

$$\gamma_3 = \underline{ 1 + \mu (\varepsilon - 2 \gamma)} ... ... + \mu^2 \left(\varepsilon - 2 \gamma \beta \cos\theta\right)^2 }} .$$

Die Gleichheit des ersten und dritten Terms der obigen Zeile bestätigt man durch Ausrechnen. Für $\gamma_3$ verwendet man den Ausdruck in der vorletzten Gleichung links, $\gamma_3 \beta_3$ den rechts. Die untersrichenen Terme dienen zur Bestimmung von $\gamma$.

Nach Quadrieren geben sie:

$$\gamma = \frac{\varepsilon}{2} - \mu (1 - \beta \cos\theta) \gamma \ [\varepsilon - \gamma (1 + \beta \cos\theta)].$$

Wegen der Kleinheit von $\mu$ , wird obige Gleichung iterativ nach $\gamma$ aufgelöst. Die nullte Näherung ist: $\gamma = \varepsilon/2$. Die erste Näherung ist:

$$\gamma = \frac{ \varepsilon}{2} \left[ 1 - \frac{\mu \va... ...u \varepsilon}{2} \ (1 - \sqrt{1 - 4/\varepsilon^2} \cos\theta)^2 \right] .$$

In dieser Näherung ergibt sich für die Energie des Elektrons (ebenso des Positrons) und für die kinetische Energie des Kerns:

$$E_e = m_0 c^2 \gamma = \frac{h\nu}{2} \left[ 1 - \frac{\mu \varepsilon}{2} \ \left(1 - \sqrt{1 - \frac{4}{\varepsilon^2}} \cos\theta\right)^2 \right],$$ (1091)

$$T_M = Mc^2 (\gamma_3 - 1) = h \nu \left(\frac{\mu \varepsilon}{4}\right)^2 \ \left(1 - \sqrt{1 - \frac{4}{\varepsilon^2}} \cos\theta\right)^2 .$$ (1092)

Zerfall eines neutralen Pions in zwei Gammaquanten

Abbildung 10.13: Zerfall eines neutralen Pions in zwei Gammaquanten; links vom Laborsystem aus betrachtet, rechts im Schwerpunktsystem.

Ein neutrales Pion (Pi-Meson) ist instabil (mittlere Lebensdauer im Eigensystem ( $7.6 10^{-15}$ s) und zerfällt hauptsächlich in zwei Gammaquanten:

$$\pi^0 \rightarrow \gamma + \gamma .$$

Deren Energie soll berechnet werden. Das Pion läuft im Laborsystem (LS) mit der Geschwindigkeit $\beta c$ ein. Es ist am zweckmäßigsten, den Vorgang im Eigensystem des Pions (SS, dort ist der Gesamtimpuls der auslaufenden Photonen Null; Abb. 10.13(b) zu berechnen und ins LS (Abb. 10.13(a)) rückzutransformieren. Für den Energie-Impulsvektor gelten die gleichen Lorentztransformationen (10.25) wie für den Raum-Zeitvektor:

$$\begin{array}{rclcrclc} \vec{p}_x{\!\!'} & = & \gamma \left... ... + \beta \vec{p}_x{\!\!'}\right). & \mbox{(f)} \end{array}$$ (1093)

$$\begin{array}{rclcrclc} \mbox{\textbf{Im SS:}} \qquad \vec{p}... ...ac{m_0 c^2}{2} (\cos\theta , \sin\theta ). &&&& \end{array}$$ (1094)

$$\qquad E_{1,2} = h \nu_{1,2} = \ \frac{1}{2} m_0 \gamma c^2 (1 \pm \beta \cos\theta) = c p_{1,2} , \qquad\qquad\qquad\qquad$$

$$\frac{1}{2} m_0 \gamma c^2 (1 - \beta) \le E_i \le \ \frac{1}{2} m_0 \gamma c^2 (1 + \beta),$$ (b) (1095)

$$\vec{p}_i = p_i (\cos\alpha_i , \sin\alpha_i) .$$ (c) (1096)

Aus (10.94a) - (10.94c) berechnet man mittels (10.93d) - (10.93f) die Energien und Impulse der beiden Photonen im LS und den Schwankungsbereich der Energien. Aus (10.93a) und (10.94f) folgt der Zusammenhang zwischen $\alpha_i$ und $\theta$, aus (10.94a) der Zusammenhang zwischen dem Winkel $\alpha_i$ und der Photonenenergie.

$$\vec{p}_{ix}{\!\!\!'} = \gamma p_i (\cos\alpha_i - \beta );$$ (1097)

$$\pm \cos\theta = \gamma^2 (1 \pm \beta \cos\theta) (\cos\alpha_i - \beta ),$$ (1098)

$$= (\cos\alpha_i - \beta ) (1 - \beta \cos\alpha_i ) ,$$ (1099)

$$h \nu (\alpha) = \frac{m_0 c^2}{2 \gamma (1 - \beta \cos\alpha)}.$$ (10100)

Für die Umwandlung von Pionen in $\gamma$-Quanten, die durch den obigen Zerfall bewirkt wird, läßt sich ein Wirkungsquerschnitt angeben. Das Pion hat Spin 0 und ist daher sphärisch symmetrisch; in seinem Eigensystem gibt es keine ausgezeichnete Richtung. Daher muß der Wirkunsquerschnitt für diese Umwandlung von den Winkeln unabhängig sein:

$$\pi^0 \rightarrow 2 \gamma : \quad \sigma (\vartheta') = \sigma_0 =$$   const.$$\qquad \sigma_i = \int\int_{\Omega'} d\Omega' \sigma (\vartheta') = \sigma_0 4 \pi.$$

Im Laborsystem haben die Pionen im allgemeinen eine hohe Geschwindigkeit; dadurch laufen die $\gamma$-Quanten bevorzugt in die Vorwärtsrichtung; der Wirkungsquerschnitt hat dann eine starke Winkelabhängigkeit. Diese läßt sich durch eine Lorentztransformation berechnen. Der Winkel zwischen der Richtung der einlaufenden Pionen (= $x$-Achse) und dem auslaufenden $\gamma$-Quant wird hier mit $\vartheta$ bezeichnet und ist am Abschluss mit dem Winkel $\alpha_i$ des betrachtenten Photons zu identifizieren. Die Lorentzkontraktion (10.34):

$$x' = \frac{1}{\gamma} x, \quad y = y, \quad z = z'$$

verändert das Volumselement folgendermaßen:

$$dV' = dx' dy' dz' = r'^{2} dr' d\Omega' = \ \f... ...gamma} r^2 dr d\Omega = \ \sqrt{1 - \beta^2} r^2 dr d\Omega .$$

In Bezug auf das Transformationsverhalten ist $r'^{2} dr'$ zu $r'^{3}$ gleichwertig. Wir können daher für den Raumwinkel $d\Omega'$ und damit auch für den Wirkungsquerschnitt folgende Umrechung von Pioneigensystem in das Laborsystem vornehmen:

$$d\Omega' = \frac{r^3}{\gamma r'^{3}} d\Omega ; \qquad \sigm... ... \frac{r^3}{\gamma r'^{3}} d\Omega = \ \sigma (\vartheta) d\Omega .$$

Nun gilt aber:

$$\frac{r^3}{r^{'3}} = \frac{\left(x^2 + y^2 + z^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{'2} ... ...t)^{\frac{3}{2}}}{\left(x^2 + y^2 + z^2 - \beta^2 z^2\right)^{\frac{3}{2}}} =$$

$$ = \frac{1}{\left(1 - \beta^2 z^2/r^2\right)^{\frac{3}{2}}} = \ \frac{1}{\left(1 - \beta^2 \cos^2 \vartheta\right)^{\frac{3}{2}}} .$$

Aus den beiden vorhergehenden Gleichungen folgt nun für den Wirkungsquerschnitt des Zerfalls $\pi ^0 \rightarrow 2\gamma$ im Laborsystem:

$$\underbrace{\sigma (\vartheta)}_{\mbox{\scriptsize im LS}} = ... ...im SS}} \frac{1}{\gamma (1 - \beta^2 \cos^2 \vartheta)^{\frac{3}{2}}} .$$ (10101)

Die Abbildungen 10.14 zeigen, daß der differentielle Wirkungsquerschnitt im Laborsystem Maxima in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung aufweist; diese nehmen mit steigender Energie zu.

Der integrale Wirkungsquerschnitt hat im LS den gleichen Wert wie im SS, wie es sein muß:

$$\sigma_i = \sigma_0 \frac{1}{\gamma} 2\pi \int_0^\pi \... ...eta}{(1 - \beta^2 \cos^2 \vartheta)^{\frac{3}{2}}} = 4 \pi \sigma_0 .$$

Abbildung 10.14: Der differentielle Wirkungsquerschnitt des Zerfalls $\pi ^0 \rightarrow 2\gamma$ im Laborsystem.

LITERATUR:
L. Bergmann, Cl.Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik III (Optik), Kap.IX.
(deGruyter, 6. Aufl., Berlin 1974)
M.Born: Die Relativitätstheorie Einsteins (Heidelberger Taschenbuch)
A.Einstein: Über spezielle und allgemeine Relativitätstheorie (Sammlung Vieweg)
E. Schmutzer: Relativitätstheorie aktuell. Teubner Studienbücher 1996.
Cl.Schäfer: Einführung in die theoretische Physik III1, Kap.14 (de Gruyter)
R.Becker, F.Sauter: Theorie der Elektrizität, Kap. E (Teubner)
J.H.Smith: The Theory of Relativity (Benjamin 1965)
R.U.Sexl, H.K.Urbantke: Relativität, Gruppen, Teilchen; Kap. 1,2 (Springer Verlag 1976)
R.K.Pathria: The Theory of Relativity (Pergamon Press 1974)

W. Lucha, M. Regler: Elementarteilchenphysik, Theorie und Experiment. Schulbuch- und Lehrmittelverlag Paul Sappl, Kufstein 1997.