Mechanik des starren Körpers

In einem starren Körper (E. rigid body) bleiben definitionsgemäß die relativen Abstände aller Punkte konstant,

$$\vec{r} ^{2}_{ik} = (\vec{r}_{i} - \vec{r}_{k}) ^{2} = r^{2}_{ik} =$$ (91)

$\vec{r}_{ik}$ ist der Abstand der Punkte $\vec{r}_{i}$ und $\vec{r}_{k}$. Die durch die Vektoren $\vec{r}_{i}$ bezeichneten Punkte mögen die Lage der Gitterpunkte (z.B. in einem Kristallgitter) bezeichnen oder die Lage der Punkte, die man in einem kontinuierlich gedachten Körper anzeichnet (s. Abb. 9.1).

Kinematik des starren Körpers

Die Bewegung des ganzen Körpers wird durch die dreier nicht kollinearer Punkte $\vec{r}_{1}(t),\-\vec{r}_{2}(t), \vec{r}_{3}(t)$ dieses Körpers beschrieben. Da die relativen Abstände der drei Punkte konstant sind, bleiben 9 Koordinaten - 3 Nebenbedingungen = 6 Freiheitsgrade. Zu dieser Zahl kommt man auch über folgende geometrische Überlegung: Die Bewegung des ersten Punktes, die Translation genannt wird, wird durch 3 Parameter angegeben. $\vec{r}_{2}$ kann sich nur mehr auf der Oberfläche der Kugel vom Radius $\vec{r}_{12}$ bewegen; dies gibt zwei weitere Parameter. $\vec{r}_{3}$ kann sich nur mehr auf einem Kreis (von gegebenem Radius) in einer Ebene senkrecht zur Verbindungsachse von $\vec{r}_{1}$ und $\vec{r}_{2}$ bewegen; dies wird durch den 6. Parameter beschrieben.

Wir können über die Bewegung eines starren Körpers einige allgemeine Aussagen machen:

Satz 9.1: Die allgemeinste Bewegung eines starren Körpers besteht aus einer Translation und einer Rotation.

Dazu wählen wir einen Punkt des Körpers (z.B. $\vec{r}_{1}$) als Bezugspunkt. Die Translation entspricht dem Verbindungsvektor von der Anfangslage $\vec{r}_{1}(t_{1})$ zur Endlage $\vec{r}_{1}(t_{2})$. Die Bewegung der übrigen Punkte des Körpers, also insbesondere von $\vec{r}_{2}$ und $\vec{r}_{3}$ wird durch ebendieselbe Translation plus eine Drehung um eine durch $\vec{r}_{1}(t_{2})$ gehende Achse wiedergegeben. Translationsvektor und Drehvektor enthalten je 3 Parameter; dies gibt wieder die vorerwähnten 6 Freiheitsgrade.
Der Satz wird im folgenden für infinitesimale Bewegung bewiesen. Wir betrachten die 3 Punkte $\vec{r}_{1}$, $\vec{r}_{2}$, $\vec{r}_{3}$ und ihre Geschwindigkeiten $\dot{\vec r}_{1}$, $\dot{\vec r}_{2}$, $\dot{\vec r}_{3}$. Da $\vec{r}_{1}$ als Bezugspunkt gewählt worden ist, ist $\dot{\vec r}_{1}$ die Translationsgeschwindigkeit. Für Punkt $\vec{r}_{2}$ gilt

$$\vec r_{21} = \vec r_{2} - \vec r_{1}, \quad \vec{r} ^{2}_{21} = \bigg\vert \frac{d}{dt} \quad \Rightarrow \quad \vec r_{21} \cdot \dot{\vec r}_{21} = 0.$$ (92)

Da $\dot{r}_{21}$ auf $\vec{r}_{21}$ senkrecht steht, kann man einen Drehvektor einführen (Abb. 9.2):

$$\dot{\vec r}_{21} = [\vec \omega, \vec r_{21}] \qquad \dot{\vec r}_{2} = \dot{\vec r}_{1} + [\vec \omega, \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}].$$ (93)

1cm

Abbildung: Wahl dreier Punkte $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$, $\vec{r}_3$ im starren Körper.

Abbildung: Die Geschwindigkeit $\dot{\vec{r}}_{21}$ und der Drehvektor $\vec{\omega}$.

Satz 9.2: Die Winkelgeschwindigkeit $\vec \omega$ ist für alle Punkte des Körpers gleich.

Auch für den Abstand $\vec r_{31}$ gelten analoge Berechnungen wie in Gl. (9.2), sodaß wir wieder wie in Gl. (9.3) einen Drehvektor $\vec \omega '$ einführen können.

$$\vec r_{31} = \vec r_{3} - \vec r_{1}, \quad \vec{r}^{ 2}_{31} = \quad \dot{\vec r}_{3} = \dot{\vec r}_{1} + [\vec{\omega}', \vec{r}_{3} - \vec{r}_{1}].$$ (94)

Aus $\vec{r}^{ 2}_{32} =$ const. folgt, mit (9.3) und (9.4), daß $\vec{\omega} = \vec{\omega} '$ ist:

$$0 = \vec{r}_{32} \cdot \dot{\vec r}_{32} = (\vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}) \cdot (\dot{\vec r}_{3}-\dot{\vec r}_{2... ...ega},\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}] - [\vec{\omega} ',\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}]\} =$$

$$= (\vec{\omega},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}, \vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}) - (\vec{\omega} ',\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}, \vec{r}_{3}-\vec{r}_{2})$$

$$= \vec{\omega} \cdot [\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}, \vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}] - \vec{\omega} ' \cdot [\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}, \vec{r}_{3}-\vec{r}_{2}]$$

$$= (\vec{\omega} - \vec{\omega} ') \cdot (- \vec{r}_{1} \times \vec{r}_{3} + \vec{r}_{1} \times \vec{r}_{2} + \vec{r}_{2} \times \vec{r}_{3}) .$$

$$\vec{\omega} = \vec{\omega} ' .$$ (95)

Da die Vektoren $\vec{r}_{1}$, $\vec{r}_{2}$, $\vec{r}_{3}$ in weitem Maße beliebig sind, kann immer erreicht werden, daß ihre Kombination in den vorhergehenden Ausdrücken ungleich Null und nicht normal zu $\vec{\omega}- \vec{\omega} '$ ist. Also muß diese Differenz der Winkelgeschwindigkeitsvektoren Null sein.

Satz 9.3: Die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ ist unabhängig vom Bezugspunkt; also nur durch die Bewegung charakterisiert.

Auch für $\vec{r}_{3}$ als Bezugspunkt muß eine Gleichung analog zu (9.3) gelten. Wir nehmen an, die zugehörige Winkelgeschwindigkeit sei $\vec{\omega}_{3}$ und setzen dann Gln. (9.3), (9.4), (9.5) ein.
Sei $\vec{r}_{3}$ Bezugspunkt:

$$\dot{\vec r}_{2} = \dot{\vec r}_{3} + [\vec{\omega}_{3},\vec{r}_{2}- \vec{r}_{3}].$$

$$\dot{\vec r}_{1} + [\vec{\omega},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}] = \dot{... ...omega},\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}] + [\vec{\omega}_{3}, \vec{r}_{2}-\vec{r}_{3}] .$$

$${[}\vec{\omega} - \vec{\omega}_{3}, \vec{r}_{2} - \vec{r}_{3}{]} = 0 . \quad \Rightarrow \quad \qquad \vec{\omega} = \vec{\omega}_{3} .$$

Die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ ist also eine für die Bewegung des Körpers charakteristische Größe; mit ihrer Hilfe läßt sich die Bewegung jedes Punktes berechnen.

Satz 9.4: Die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ läßt sich aus der Geschwindigkeit dreier Punkte des Körpers berechnen., (Gl. (9.6)).

Abbildung: Zerlegung des Vektors $\vec{v} = \dot{\vec{r}}$ in Komponenten parallel und senkrecht zur Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$.

Wir bilden

$$\begin{array}{lcl} \left[\dot{\vec r}_{2}-\dot{\vec r}_{1},\... ...c{r}_{1}, \dot{\vec r}_{3}-\dot{\vec r}_{1}\right). \end{array}$$

Wegen (9.4) ist der erste Term der rechten Seite Null.

$$\vec{\omega} \cdot (\dot{\vec r}_{3}-\dot{\vec r}_{1}) = \vec{\om... ...}_{3}-\vec{r}_{1} ] = (\vec{\omega},\vec{\omega},\vec{r}_{3}-\vec{r}_{1}) = 0.$$

Daher gilt

$$\vec{\omega} = - \frac{[\dot{\vec r}_{2}-\dot{\vec r}_{1} , \dot{... ...ec r}_{1}]}{(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} , \dot{\vec r}_{3}-\dot{\vec r}_{1})} .$$ (96)

Während die Winkelgeschwindigkeit vom Bezugspunkt unabhängig ist und ausschließlich von der Bewegung bestimmt wird,ist die Translationsgeschwindigkeit im allgemeinen für die Wahl jedes Bezugspunktes verschieden. Doch gibt es für jede Bewegung eine ausgezeichnete Achse, die Schrotachse. Für jeden Punkt der Schrotachse als Bezugspunkt ist die Translation parallel der Winkelgeschwindigkeit. Um die Schrotachse aufzusuchen, gehen wir von einem beliebigen Bezugspunkt aus. Die zugehörige Translationsgeschwindigkeit wird in eine Komponente senkrecht und eine parallel zur Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ zerlegt (Abb. 9.3).

$$\begin{array}{lcccccc} \vec{v} & = & \dot{\vec r} & = & \vec... ...ot{\vec r}_{\parallel} & + & \dot{\vec r}_{\perp} . \end{array}$$

Wir suchen nun einen Bezugspunkt ${\vec r}_{1}$, der durch die folgenden zwei Bedingungen festgelegt ist

$$\dot{\vec r} - \vec{\omega}(\vec{\omega},\dot{\vec r}) \frac{1}{{... ...r}_{1} - \vec{r}] \quad \wedge \quad (\vec{\omega},\vec{r}_{1} - \vec{r}) = 0.$$

Ein solcher Bezugspunkt läßt sich immer finden. Denn multipliziert man die linke der obigen Gleichungen vektoriell mit $\vec{\omega}$ und benutzt dann die rechte, findet man

$$\vec{\omega} \times \dot{\vec r} = - \left[ \vec{\omega}, [\vec{\omega}, \vec{r}_{1}-\vec{r}] \right] = - \vec{\omega}(\vec{\omega},\vec{r}_{1}-\vec{r}) + (\vec{r}_{1}-\vec{r}) \omega^{2} ;$$

$$\vec{r}_{1} = \vec{r} + \frac{\vec{\omega} \times \dot{\vec r}}{{\omega} ^{2}} .$$

Die Translationsgeschwindigkeit $\dot{\vec r}_{1}$ dieses Punktes ist gemäß (9.3) und den vorhergehenden Gln.

$$\dot{\vec r}_{1} = \dot{\vec r} + [\vec{\omega},\vec{r}_{1}-\vec{... ...\frac{\vec{\omega} \times \dot{\vec r}} {\omega^{2}} \right ] \right)}_{= 0} .$$

Der Punkt $\vec{r}_{1}$ ist also ein Bezugspunkt, dessen Translationsgeschwindigkeit $\dot{\vec{r}}_{1}$ parallel zu $\vec{\omega}$ ist. Die Menge aller Punkte, für die dies gilt, ist die Schrotachse

$$\vec{r}_{1} = \vec r + \frac{\vec{\omega} \times \dot{\vec{r}}}{\omega^{2}} + \alpha \vec{\omega}$$ (97)

Berechnet man nämlich für alle diese Bezugspunkte die Translationsgeschwindigkeit $\dot{\vec{r}}_1$ wie vor Gl. (9.7), dann kommt aus dem einen zusätzlichen Term $\alpha [\vec{\omega}$, $\vec{\omega} ] = 0$.
Für alle Punkte der Schrotachse ist die Bewegung des Körpers eine Translation in Richtung der Schrotachse und eine Drehung um diese; eine solche Bewegung heißt Schraubbewegung.
Im Laufe der Bewegung ändert sich auch im allgemeinen die Schrotachse. Sie erzeugt dabei eine Regelfläche. (Bewegt man eine Gerade im Raum, so überstreicht sie eine Fläche, eben die Regelfläche.) Verfolgt man die Bewegung der Schrotachse vom mitbewegten System aus, dann erhält man dabei auch eine Regelfläche, die aber im allgemeinen von der ersten verschieden sein wird. Die beiden Regelflächen berühren sich immer entlang der Schrotachse; sie rollen aber nicht nur aufeinander, sondern gleiten gegeneinander längs der Berührungsgeraden: Sie 'schroten' aufeinander.
Als Beispiel betrachten wir einen Kreiszylinder, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ um seine Achse rotiert, während diese Achse mit der konstanten Geschwindigkeit $\dot{\vec r}_{A}$ parallel zu sich selbst fliegt, s. Abb. 9.4. Für den Bezugspunkt $\vec{r}_{1}$ heben sich $\dot{\vec r}_{A}$ und $[\vec{\omega},\vec{r}_{1}]$ auf. Dies ist die Schrotachse; die Translationsgeschwindigkeit ist hier Null $(\dot{\vec r}_{1} = 0\: \Vert\: \vec{\omega})$. Die raumfeste Regelfläche ist eine Ebene, die körperfeste ein Zylinder (Abb. 9.4, in Strichen gezeichnet), der auf der Ebene rollt. Hat $\dot{\vec r}_{A}$ auch eine Komponente in Richtung der Zylinderachse, dann gleitet der körperfeste Zylinder auf der Ebene längs der momentan berührenden Erzeugenden, er 'schrotet'.

Abbildung 9.4: Translation und Rotation eines Zylinders: Schrotachse, raumfeste und körperfeste Regelfläche.

Dynamik des starren Körpers

Die Bewegungsgleichungen für einen starren Körper

Der starre Körper wird als ein Ensemble von $N$ Massenpunkten mit Lagen $\vec{r}_{\mu} (\mu = 1,2, ... ,N)$ betrachtet. Die Bedingung der Starrheit lautet dann (vgl. Gl. (9.1)):

$$G_{\mu \nu} = (\vec{r}_{\mu} - \vec{r}_{\nu})^{2} - r^{2}_{\mu \nu} = 0.$$

Die Bewegungsgleichungen für diese Massenpunkte sind die Lagrangeschen Gleichungen 1. Art, Gln. (11.16), s. a. (6.8):

$$m_{\mu} \ddot{\vec{r}}_{\mu} = \vec{F}_{\mu} + \sum_{\varrho, \nu} \lambda_{\varrho \nu}$$   grad$$_{\mu} G_{\varrho \nu}.$$

Da in $G_{\varrho \nu}$ für gegebenes $\varrho$ und $\nu$ nur die Koordinaten der beiden Vektoren $\vec{r}_{\varrho}$ und $\vec{r}_{\nu}$ vorkommen, liefert grad$_{\mu}$ nur dann einen nicht verschwindenden Beitrag, wenn $\mu$ mit $\nu$ oder $\varrho$ übereinstimmt:

   grad$$_{\mu} G_{\varrho \nu} =$$   grad$$_{\mu} G_{\mu \nu} \delta_{\mu \nu} .$$

Damit kann man obige Doppelsumme in zwei einfache aufspalten; in der zweiten wird der Index $\varrho$ in $\nu$ umgetauft. Die beiden Summen lassen sich wegen

    grad$$_{\mu} G_{\mu \varrho} = -$$   grad$$_{\mu} G_{\varrho \mu}$$

in eine zusammenfassen

$$m_{\mu} \ddot{\vec r}_{\mu} = \vec F_{\mu} + \sum_{\nu}(\lambda_{\mu \nu}- \lambda_{\nu \mu}) _{\mu} G_{\mu \nu} = \vec F_{\mu} + \sum_{\nu} \vec{Z}_{\mu \nu} .$$ (98)

Die Zwangskräfte

$$\vec{Z}_{\mu \nu} = (\lambda_{\mu \nu}-\lambda_{\nu \mu})$$   grad$$_{\mu} G_{\mu \nu} = 2 (\lambda_{\mu \nu} - \lambda_{\nu \mu})(\vec r_{\mu}-\vec r_{\nu})$$

wirken in Richtung der Verbindungslinie der jeweiligen Punkte, sind also Zentralkräfte. Die in Kap. 7 entwickelte Theorie der Systeme von Massenpunkten läßt sich daher auf die Bewegungsgleichungen (9.8) anwenden. Natürlich wäre es sehr umständlich, diese für praktische Berechnungen zu verwenden, doch können wir darauf einige Untersuchungen grundsätzlicher Art aufbauen.

Der Drehimpulssatz

In §7.2.2 ist der Satz über den Zusammenhang zwischen der Änderung des Drehimpulses und dem Moment der äußeren Kräfte abgeleitet worden.

$$\vec{M} = \frac{d}{dt} \vec{L},\qquad \vec{L} = \sum_{\mu... ...t{r}_{\mu}; \qquad \vec{M} = \sum_{\mu} \vec{r}_{\mu} \times \vec{F}_{\mu}.$$ (99)

Dabei ist vorausgesetzt worden, daß das Bezugssystem ein Inertialsystem ist und daß die inneren Kräfte Zentralkräfte sind, die nur vom relativen Abstand der jeweiligen zwei Punkte abhängen.
Für die Anwendung dieses Satzes auf die Bewegung des starren Körpers ist es nötig, seine Gültigkeit auf bewegte und sogar beschleunigte Bezugspunkt zu erweitern. Dies wird uns dann gestatten, eine Formel für den Drehimpuls der Relativbewegung anzugeben, in die der Trägheitstensor eingeht.
Wir gehen zunächst zu einem neuen Bezugspunkt $\vec r_{0}$ über, der ebenfalls im Inertialsystem ruht:

$$\vec{r}_{\mu} = \vec{r}_{0} + \vec{x}_{\mu}, \qquad \dot{\vec r}_{\mu} = \dot{\vec x}_{\mu}.$$

Da sich bei diesem Wechsel des Bezugspunktes physikalisch nichts ändert, muß auch hier gelten

$$\frac{d}{dt} \vec{L} = \vec{M}, \qquad \vec{L} = \sum_{\mu} m \ve... ...\mu} \times \dot{x}_{\mu} ; \qquad \vec{M} = \sum \vec{x}_{\mu} \times \vec{F}.$$ (910)

Ist der Bezugspunkt bewegt, dann gilt im allgemeinen dieser Zusammenhang nicht. Ist aber der Bezugspunkt der Schwerpunkt

$$\vec{r}_{\mu} = \vec{r}_{s} + \vec{x}_{\mu}, \qquad \dot{\vec r}_{\mu} = \dot{\vec r}_{s} + \dot{\vec x}_{\mu} ;$$ (911)

$$M = \sum_{\mu} m_{\mu}, \quad \vec{r}_{s} = \frac{1}{M} \sum_{\mu} m_{\mu} \vec{r}_{\mu}; \quad \sum_{\mu} m_{\mu} \vec{x}_{\mu} = 0,$$

dann gilt wieder

bei beliebiger Bewegung des Schwerpunktes. Zum Beweis dieser Relation werden Gln. (9.11) in (9.9) eingesetzt

$$\vec L = \sum_{\mu} \left[ \vec{r}_{s}+\vec{x}_{\mu}, m_{\mu} \dot{\vec r}_{s}+m_{\mu}\dot{\vec x}_{\mu} \right],$$

$$= M \left[\vec{r}_{s}, \dot{\vec r}_{s} \right] + \Big[\vec{r}_{s},... ...{\mu}}_ {= 0} \Big] + \sum_{\mu} m_{\mu} [\vec{x}_{\mu}, \dot{\vec x}_{\mu} ] .$$

$$\vec M = \sum_{\mu} [\vec{r}_{s}+\vec{x}_{\mu}, \vec{F}_{\mu} ]$$

$$= [\vec{r}_{s}, \sum_{\mu} \vec{F}_{\mu} ] + \vec{M}_{s} = \dot{\vec L} = M[\vec{r}_{s}, \ddot{\vec r}_{s} ] + \frac{d}{dt} \vec{L}_{s} .$$

In der letzten Zeile heben sich die Exprodukte, die $\vec{r}_{s}$ enthalten, gemäß der Bewegungsgleichung für den Schwerpunkt; die jeweils links und rechts verbleibenden Terme geben das obige Resultat (9.12).
Die Gleichungen (9.10) verwendet man vor allem bei der Untersuchung der Bewegung eines Körpers, der in einem Punkt in einem Inertialsystem fixiert ist; Gl. (9.12) bei der eines Körpers, der nirgends festgehalten ist. Obwohl diese Gleichungen etwas verschiedene Aussagen enthalten, ist ihr formales Aussehen gleich. Gerade darauf bauen die weiteren Ableitungen auf. Da $\vec{x}_{\mu}$ immer vom Bezugspunkt aus gerechnet wird und der Körper starr ist, gilt wie in Gl. (9.3)

$$\vec{x}^{ 2}_{\mu} =$$   const.$$\quad \Rightarrow \quad \dot{\vec x}_{\mu} = \ [\vec{\omega}, \vec{x}_{\mu}] .$$

Für das weitere ist es zweckmäßiger, auf die Tensorschreibweise überzugehen

$$\vec{x}_{\mu} \hat{=} x^{(\mu)}_{i} \qquad \dot{\vec x}_{\mu} \hat{=} \dot{x}^{(\mu)}_{i} = \varepsilon_{ijk} \omega_{j} x^{(\mu)}_{k}$$ (913)

Diese Ausdrücke werden in Gln. (9.10) oder (9.12) eingesetzt:

$$\vec{L} \hat{=} L_{i} = \sum_{\mu} m_{\mu} \varepsilon _{ijk} x^{(\mu)}_{j} \varepsilon_{krs} \omega_{r} x^{(\mu)}_{s} ,$$

$$= \sum_{\mu} m_{\mu} (\delta_{ie} x_{s}^{(\mu)} x_{s}^{(\mu)} - x^{(\mu)}_{i} x^{(\mu)}_{e}) \omega_{e} .$$

Der Zusammenhang zwischen Drehimpuls $\vec L$ und Drehvektor $\vec \omega$

$$L_{i} = I_{ik} \omega_{k} \Longleftrightarrow \vec {L} = \stackrel{\leftrightarrow}{I} \cdot \vec{\omega}$$ (914)

wird durch den Trägheitstensor

$$I_{ik} = \sum_{\mu} m_{\mu} \left[\delta_{ik} x^{(\mu)}_{s} x^{(\mu)}_{s} - x^{(\mu)}_{i} x^{(\mu)}_{k} \right]$$ (915)

vermittelt. Damit wird aus Gln. (9.10) bzw. (9.12)

$$\vec{M} \hat{=} M_{i} = \frac{d}{dt} L_{i} = \frac{d}... ... I_{ik} \omega_{k} = I_{ik} \dot{\omega}_{k} + \dot{I}_{ik} \omega_{k} .$$ (916)

Diese Gleichung gilt wegen der Voraussetzungen für Gln. (9.10) und (9.12) nur dann, wenn für sie als Bezugspunkt entweder ein Punkt, der in einem Inertialsystem ruht und in dem der Körper fixiert ist, oder der beliebig bewegte Schwerpunkt des Körpers gewählt wird.
Da bei all diesen Betrachtungen ein Koordinatensystem benützt worden ist, dessen Koordinatenachsen immer parallel denen des raumfesten Systems sind, handelt es sich nicht um körperfeste Systeme. Daher werden im allgemeinen die Vektoren $\vec{x}_{\mu}$ zeitabhängig sein und daher auch die Komponenten des Trägheitstensors (9.15).

Gleichgewichtsbedingungen. Statik des starren Körpers

Für Systeme von Massenpunkten gelten der Schwerpunktsatz, Gl. (7.8) und der Drehimpulssatz, Gl. (7.15):

$$M \frac{d \vec{v}_{s}}{dt} = \sum_{\mu} \vec F_{\mu} (\vec r_{\mu}) ,$$

$$\frac{d}{dt} \vec{L} = \sum_{\mu} \left(\vec{r}_{\mu} \times \vec{F}_{\mu} (\vec r_{\mu})\right) .$$

Da es beim starren Körper keine innere Bewegung gibt, genügt es für Gleichgewicht, daß sich die Wirkungen der äußeren Kräfte aufheben.

$$\sum_{\mu} \vec F_{\mu}(\vec{r}_{\mu}) = 0 ,$$ (917)

$$\sum_{\mu} (\vec r_{\mu} \times \vec{F}_{\mu} (\vec r_{\mu})) = 0.$$ (918)

Ist der Körper anfänglich in Ruhe, d.h. im Gleichgewicht, dann bleibt er es auch weiterhin. Im ebenen Fall hat man zwei Kräfte- und eine Momentengleichung. Diese Bedingungen werden vor allem auch verwendet in der Statik der Fachwerke. Es ist wesentlich, daß nicht nur die Summe der Kräfte, sondern auch die Summe der Momente Null ist. Denn z.B. für ein Kräftepaar verschwindet die Summe der Kräfte, nicht aber deren Moment.
Als ein Beispiel betrachten wir einen homogenen Stab, der an einer Wand lehnt (Abb. 9.5). Wir suchen den Neigungswinkel, bei dem dieser gerade noch von den Kräften der Haftreibung gehalten wird. Man kann annehmen, daß das Gewicht $G$ nur im Schwerpunkt $S$ angreift. Die Rektionskräfte $P_{1}$, $P_{2}$ und die Reibungskräfte $R_{1}$, $R_{2}$ wirken nur an den Endpunkten. Die Kräfte und ihre Kraftarme sind

$$\vec{F}_{0} = (0, -G), \quad \vec{F}_{1} = (-R_{1},P_{1}), \quad \vec{F}_{2} = (P_{2},R_{2}) ;$$

$$\vec r_{1} = - \vec{r}_{2} = \ell (\cos \alpha, - \sin \alpha) .$$

Abbildung: Ein Stab lehnt an einer Wand. Die Reibungskräfte verhindern das Abrutschen.

Die Gleichgewichtsbedingungen (9.17) und (9.18) liefern

$$\vec{F}_{0} + \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = 0:\;\left\{ \begin{arra... ...cc} - R_{1} + P_{2} = 0 , [0.5em] P_{1} + R_{2} = G . \end{array}\right.$$ (919)

$$\vec{F} \times \vec{r}_{1} + \vec{F}_{2} \times \vec{r}_{2} = (\vec{F}_{1} - \vec{F}_{2}) \times \vec{r}_{1} = 0,$$ (920)

$$(P_{1} - R_{2}) \cos \alpha - (R_{1} + P_{2}) \sin \alpha = 0.$$

Wir nehmen weiter an, daß für die Reibungskräfte das Coulombsche Reibungsgesetz gilt: Die Reibungskraft ist proportional der Normalkraft. Die Normalkraft ist aber gleich groß wie die Reaktionskraft an diesem Punkt. Daher können wir schreiben

$$R_{1} = \mu_{1}P_{1}, \qquad R_{2} = \mu_{2}P_{2} .$$ (921)

$\mu_{1},\mu_{2}$ sind die Koeffizienten der Haftreibung für den Stab längs des Bodens (der Wand). Obige Relationen werden in Gln. (9.19) eingesetzt und das entstehende Gleichungssystem gelöst.

$$P_{1} = \frac{G}{1+\mu_{1}\mu_{2}} \qquad P_{2} = \frac{\mu_{1}G} {1+\mu_{1}\mu_{2}}$$ (922)

Werden (9.21) und (9.22) in (9.20) eingesetzt, ergibt sich für den Neigungswinkel, der gerade noch zulässig ist, ohne daß der Stab wegrutscht:

$$\tan \alpha_{0} = \frac{P_{1} - R_{2}}{R_{1} + P_{2}} = \frac{1 - \mu_{1}\mu_{2}}{2\mu_{1}}$$

Der Stab steht stabil für Neigungswinkel $\alpha > \alpha_{0}$. Für diesen Fall können die Kräfte aus den obigen Gleichungen nicht eindeutig bestimmt werden, weil dann an Stelle der obigen Gleichung eine Ungleichung steht (Statisch unbestimmtes System). Für $\mu_{1} \simeq \mu_{2} \simeq 0,5$ (Haftreibungskoeffizient für Holz auf Holz) ist $\alpha_{0} \simeq 37°$.

Der Trägheitstensor

Der Trägheitstensor, s. Gl. (9.15),

$$I_{ik} = \sum_{\mu} m_{\mu} (x^{\mu}_{j} x^{\mu}_{j} \delta_{ik} - x^{\mu}_{i} x^{\mu}_{k}) = I_{ki}$$ (923)

ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe. Als Matrix geschrieben, sieht er so aus:

$$(I_{ik}) = \left( \begin{array}{ccc} \sum_{\mu} m_{\mu}(r^{2}_{\m... ...{\mu}z_{\mu} & \sum_{\mu} m_{\mu}(r^{2}_{\mu}-z^{2}_{\mu}) \end{array} \right).$$ (924)

Seine Elemente sind vom Bezugspunkt und von der Lage des Koordinatensystems abhängig. Meist denkt man an ein körperfestes Koordinatensystem. $I_{ii}$, die Elemente der Hauptdiagonale, heißen Trägheitsmomente; $I_{ik}$, die Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen, heißen Deviationsmomente. Die Bedeutung dieser Namen wird unten erläutert.
Für eine kontinuierliche, durch die Dichtfunktion $\varrho(\vec{r})$ beschriebene Massenverteilung, hat man statt (9.23)

$$I_{ik} = \int_{V} \varrho(\vec r) (r^{2}\delta_{ik} - x_{i}x_{k}) dV$$ (925)

Der Trägheitstensor kann durch eine Äquivalenztransformation mittels einer Matrix $A$ auf Hauptachsen transformiert werden:

$$A^{-1} I A = \bar{I} .$$ (926)

Dabei geht $I$ in Diagonalform über:

$$(\bar{I}_{ik}) = \left( \begin{array}{lll} I_{1} & 0 & 0 0 & I... ...nd{array} \right) , \qquad I_{ik} = I_{\underline{k}} \delta_{i\underline{k}} .$$ (927)

(Nicht über $\underline{k}$ summieren !). Die Matrix $A$ kann dabei reell orthogonal gewählt werden. Die inverse Matrix $A^{-1}$ ist dann gleich der transponierten Matrix $\tilde{A}$ (vgl. Gln. (8.7)):

$$\tilde{A} A = E = A \tilde{A}. \quad \Leftrightarrow \q... ...= a_{ki} a_{kj} = \delta_{ij} = a_{ik} a_{jk} = a_{ik} \tilde{a}_{kj}.$$

Eine Hauptachsentransformation wie oben angegeben stellt eine Drehung des Koordinatensystems dar.

Die $I_{k}$ heißen die Hauptträgheitsmomente; sie sind immer positiv (Beweis am Ende dieses §).
Für den Trägheitstensor wie für jeden symmetrischen Tensor zweiter Stufe kann eine geometrische Deutung gegeben werden. Wir ziehen einen dreidimensionalen kartesischen Raum ${\mathbb{R}} ^3$ mit Punkten (oder Vektoren) $\vec{\alpha} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ heran. In diesem Raum stellt der Ausdruck

$$I_{ik}\alpha_{i} \alpha_{k} = 1$$ (928)

einen Kegelschnitt dar, das Trägheitsellipsoid. Da $(I_{ik})$ symmetrisch ist, sind die Eigenwerte reell und die Transformationsmatrix $A$, die aus den Eigenvektoren aufgebaut ist und die in Gl. (9.26) erwähnte Hauptachsentransformation vermittelt, kann orthogonal gewählt werden:

$$\alpha_{i} = a_{ik} \beta_{k}, a_{ij}a_{kj} = \delta_{ik} .$$

Sie ist also eine Drehung auf ein Koordinatensystem, dessen Achsen mit denen des Ellipsoids zusammenfällt:

$$I_{1}\beta^{2}_{1} + I_{2}\beta_{2}^{2} + I_{3}\beta^{2}_{3} = 1, \qquad I_{k} > 0.$$

Abbildung: a) Das Trägheitsellipsoid. b) Verschiedene Trägheitsellipsoide entsprechen verschiedenen Stellen eines Körpers als Bezugspunkte.

[]

[]

Die Halbachsen des Ellipsoides haben die Länge $1/\sqrt{I_{i}}$, s. Abb. 9.6(a). Da die Werte der Elemente des Trägheitstensors auch von der Lage des Bezugspunktes abhängen, muß man sich vorstellen, daß zu jedem Punkt des Körpers ein anderes Trägheitsellipsoid gehört, s. Abb. 9.6(b).
Daß alle Eigenwerte $I_{k}$ nicht nur reell, sondern auch positiv sind, folgert man daraus, daß die quadratische Form

$$I_{ik}\alpha_{i}\alpha_{k} = \sum_{\mu} m_{\mu} (x_{s}^{(\mu)} x_{s}^{(\mu)} \alpha_{i} \alpha_{i} - (x_{k}^{(\mu)}\alpha_{k})^{2}) =$$

$$= \sum_{\mu} m_{\mu}(\vec{x} ^{(\mu)} \times \vec{\alpha})^{2} > 0$$

immer positiv definit, also immer positiv ist. Die Summe ganz rechts besteht aus mehreren Summanden, die nicht alle Null sein können, wenn nicht alle Vektoren $x_{i}^{(\mu)}$ kollinear sind. Es gibt also keinen Vektor (außer dem Nullvektor), für den die obige Summe Null oder negativ ist. Ist nun $\vec{\alpha}$ ein Eigenvektor, und zwar der zum Eigenwert $I_{k}$, dann folgt weiter

$$I_{ik}\alpha_{i}\alpha_{k} = I_{k}(\alpha_{1}^{2} + \alpha_{2}^{2} + \alpha_{3}^{2}) > 0, \quad \Rightarrow \quad I_{k} > 0.$$

Der Steinersche Satz

Durch diesen Satz wird der Trägheitstensor bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes in Beziehung gebracht zum Trägheitstensor bezüglich des Schwerpunktes S (mit Koordinaten $s_{i}$). $r_{i}^{(\mu)}$ seien die Koordinaten des Punktes $x_{i}^{(\mu)}$ bezüglich S, Abb. 9.7.

Abbildung 9.7: Wechsel des Bezugspunkts. S ist der Schwerpunkt des Körpers.

$$x_{i}^{(\mu)}\; = \; s_{i} + r_{i}^{(\mu)}, \quad \sum_{\mu} m_{\mu} r_{i}^{(\mu)} = 0.$$

Aus Gl. (9.23) erhält man damit

$$\hspace*{-0.65cm} I_{ik}\;\; =\;\; \sum_{\mu} m_{\mu} \left[ (s_{... ...{(\mu)}) \delta_{ik}\; -\; (s_{i}+r_{i}^{(\mu)})(s_{k}+r_{k}^{(\mu)}) \right];$$

$$\begin{array}{cclccc} I_{ik} & = &\quad \sum_{\mu} m_{\mu} \left[... ...\mu)} - s_{k} \sum_{\mu} m_{\mu} r_{i}^{(\mu)} &\qquad & + & 0 + 0; \end{array}$$

$$\hspace*{-6.45cm} I_{ik}\;\; =\;\; I_{ik}^{s}\; \;+\;\; M [s^{2} \delta_{ik} - s_{i}s_{k} ].$$ (929)

Der Trägheitstensor bezüglich eines beliebigen Punktes ist gleich dem Trägheitstensor bezüglich des Schwerpunktes plus dem Trägheitstensor der in S vereinigten Gesamtmasse bezüglich des beliebigen Punktes.

Trägheitsmoment um eine Achse

Sehr oft benötigt man das Trägheitsmoment für eine Drehung um eine vorgegebene Achse. Diese sei durch den Einheitsvektor $e_{i}$ gegeben:

$$\vec{\omega} \hat{=} \omega_{i} = \omega e_{i}, \qquad e_{j}e_{j} = 1 .$$

Dies wird in Gl. (9.14) eingesetzt

$$L_{i}e_{i} := L = e_{i}I_{ik}e_{k} \omega = I \omega$$ (930)

mit

$$I := e_{i}I_{ik}e_{k}.$$ (931)

$I$ ist das Trägheitsmoment um $e_{i}$; $L$ der Drehimpuls um $e_{i}$. Vergleich von Gl. (9.30) mit $p = mv$, Gl. (3.18), zeigt, daß Drehimpuls, Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit bei Rotation eines Körpers eine analoge Rolle spielen wie Impuls, Masse und Geschwindigkeit bei der Bewegung eines Massenpunktes. Der Ausdruck (9.23) wird in (9.31) eingesetzt

$$I = \sum_{\mu} m_{\mu} \left[ x_{s}^{(\mu)} x_{s}^{(\mu)} e_{i}e_... ...mu)})^{2} \right] = \sum_{\mu} m_{\mu} \left[ \varrho_{i}^{(\mu)} \right]^{2} .$$ (932)

$$\varrho_{i}^{(\mu)} = x_{i}^{(\mu)} = x_{i}^{(\mu)} - e_{j}x_{j}^{(\mu)}e_{i}$$

ist der Normalabstand des Punktes $x_{i}$ von der Drehachse $e_{i}$. Das Trägheitsmoment einer Masse ist gleich Masse mal Quadrat des Normalabstandes (vgl. die Ausdrücke in der Hauptdiagonale von Gl. (9.24)).

Wir setzen noch

$$e_{i} = (\cos \alpha_{1}, \cos \alpha_{2}, \cos \alpha_{3});$$

$\alpha_{1}$ ist der Winkel zwischen dem Vektor $e_{i}$ der Drehachse und der $j$-ten Hauptträgheitsachse. Dann bekommen wir

$$I = e_{r} I_{k} \delta_{rk} e_{k} = I_{1}\cos^{2}\alpha_{1}+I_{2} \cos^{2} \alpha_{2} + I_{3}\cos^{2}\alpha_{3} .$$

Wir überschieben den Steinerschen Satz, Gl. (9.7), mit $e_{i}$ und $e_{k}$ und bekommen

$$\begin{array}{cccccc} & e_{i}I_{ik}e_{k} & = & e_{i}I_{ik}^{s... ...2}] [2mm] = & I & = & I^{s} & + & M \varrho^{2}. \end{array}$$ (933)

Das Trägheitsmoment um eine beliebige Achse = Trägheitsmoment um eine parallele Achse durch Schwerpunkt + Trägheitsmoment der Gesamtmasse im Normalabstand der beiden Achsen (s. Abb. 9.8).

1cm

Abbildung 9.8: Steinerscher Satz

Abbildung 9.9: Drehung eines Stabes

Abbildung 9.10: Drehung eines Rechtecks

Das Trägheitsmoment eines Stabes (Gesamtmasse $M$, Länge $\ell$) für Rotation um eine Achse senkrecht durch einen Endpunkt (Abb. 9.9) ist nach (9.32)

$$I = \int_{0}^{\ell} \frac{M}{\ell} d\varrho \varrho^{2} = \frac{M\ell^{2}}{3} ;$$ (934)

oder mittels des Steinerschen Satzes (9.33)

$$I = I^{s} + M \left( \frac{\ell}{2} \right)^{2} = \ \int_{... ... = \ M \ell^{2} (\frac{1}{12} + \frac{1}{4} ) = \frac{M\ell^{2}}{3} .$$

Das Trägheitsmoment eines Rechteckes um eine senkrechte Achse durch den Mittelpunkt (Abb. 9.10) ist

$$I = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} dx \int_{-\frac{b}{2}... ...\int_{0}^{\frac{b}{2}} dy \ (x^{2}+y^{2}) = \frac{M}{12} (a^{2}+b^{2}) .$$

Die kinetische Energie des starren Körpers

Wir zerlegen die Bewegung des Körpers in eine Translation (des Bezugspunktes $\vec r_{0}$) und in eine Rotation gegeben durch den Drehvektor $\vec \omega$. Die Bewegung des Punktes $\vec r_{\mu}$ ist (vgl. Gl. (9.13))

$$\vec r_{\mu} = \vec r_{0} + \vec x_{\mu}, \qquad \dot{\vec r}_{\mu} = \vec{v}_{\mu} = \vec{v}_{0} + [\vec{\omega}, \vec{x}_{\mu}].$$

Die kinetische Energie des Körpers ist

$$\begin{array}{ccccccc} T & = & \frac{1}{2} \sum_{\mu} m_{\mu... ... [0.5em] & = & T_{tr} & + & T_{rot} & + & T_{w} . \end{array}$$

Gesamte kinetische Energie = Energie der Translation der im Bezugspunkt vereinigten Gesamtmasse + Energie der Rotation des Körpers + Wechselwirkungsenergie zwischen Translation und Rotation.
Für den Schwerpunkt als Bezugspunkt ist die Wechselwirkungsenergie Null:

$$\vec{x}_{s} = 0 \quad \Rightarrow \quad T_{w} = 0 .$$

Ist ein Punkt des Körpers fixiert, dann wählt man diesen als Bezugspunkt; damit sind Translations- und Wechselwirkungsenergie Null;

$$\vec{v}_{0} = 0 \quad \rightarrow \quad T_{tr} = 0, \qquad T_{w} = 0 .$$

Die Rotationsenergie kann noch umgeformt werden durch die Einführung des Trägheitstensors gemäß. Gln. (9.13) und (9.23)

$$\left[ \vec{\omega}, \vec{x}_{\mu} \right]^{2} = \omega^{2} \vec{... ...)} \delta_{ik} - x_{i}^{(\mu)}x_{k}^{(\mu)} \right) \omega_{i} \omega_{k} ;$$

$$T_{rot} = \frac{1}{2} \sum_{\mu} m_{\mu} \left[ \vec{\omega}, \vec{x}_{\mu}... ...{(\mu)} \delta_{ik} - x_{i}^{(\mu)}x_{k}^{(\mu)} \right] \omega_{i} \omega_{k},$$ (935)

$$= \frac{1}{2} I_{ik} \omega_{i} \omega_{k} = \frac{1}{2} \omega_{i}L_{i} .$$

Für die letzte Umformung wurde Gl. (9.14) herangezogen.
Für die Rotation um eine Achse $e_{i}$ wird daraus wegen Gln. (9.30) und (9.31)

$$T_{rot} = \frac{1}{2} I_{ik} e_{i} e_{k} \omega^{2} = \frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{1}{2} L \omega.$$ (936)

Auch hier fällt die Ähnlichkeit mit $T_{tr} = \frac{1}{2} Mv^{2}$ auf.

Die Eulerschen Gleichungen

Die Änderung des dynamischen Zustandes des Körpers durch das Moment der äußeren Kräfte ist im raumfesten Koordinatensystem in Gl. (9.16) angegeben worden. Diese Gleichung hat den Nachteil, daß der Trägheitstensor im raumfesten System im allgemeinen nicht zeitlich konstant ist. Wohl aber sind seine Komponenten im körperfesten System konstant. Daher ist in diesem System die Gleichung für die Änderung des Drehimpulses einfacher

$$:\quad L_{i} = I_{ik}\omega_{k},\quad M_{i} = \dot{L}_{i} = \dot{I}_{ik}\omega_{k} + I_{ik}\dot{\omega}_{k},$$ (937)

$$:\quad L'_{i} = I'_{ik}\omega'_{k},\quad M'_{i} \neq \ \dot{L}_{i}' = I'_{ik}\dot{\omega}_{k}'.$$ (938)

Das körperfeste System ist im allgemeinen ein beschleunigtes Bezugssystem. Gemäß Gln. (8.5), (8.9) und (8.32b), (8.33) gilt

$$\begin{array}{lcccccccc} x_{i} & = & a_{i} + & a_{ij}x'_{j... ..._{prj}\omega'_{r}c'_{j} + a_{ij}\dot{c}_{j}{\!\!'}. \end{array}$$ (939)

$x_{i}$ bzw. $x'_{i}$ sind die Koordinaten ein- und desselben Punktes im raum- bzw. körperfesten System. $c_{i}$ bzw. $c'_{i}$ sind die entsprechenden Koordinaten eines echten Vektors.
Die letzte der obigen Gleichungen wird für die Transformation des Drehimpulses $L_{i}$ in den nachfolgenden Gleichungen verwendet. Zusammen mit Gl. (9.37) gibt das:

$$M_{i} = \dot{L}_{i} = a_{ij}\dot{L}_{j}' + a_{ij}\varepsilon_{jrs}\omega'_{r}L'_{s},$$ (940)

$$M_{i} = a_{ij}I'_{jk}\dot{\omega}_{k}' + a_{ij}\varepsilon_{jrs}\omeg... ...'_{jk}\dot{\omega}_{k}' + \varepsilon_{jrs} \omega'_{r}I'_{sk}\omega'_{k}).$$ (941)

$$M_{i}a_{il} = M'_{l} = I'_{lk}\dot{\omega}_{k}' + \varepsilon_{lrs} \omega'_{r}I'_{sk}\omega'_{k},$$ (942)

$$\vec{M}' = \stackrel{\leftrightarrow}{I}'\!\!\! \cdot \dot{\vec \omega}' + [\vec{\omega}', \stackrel{\leftrightarrow}{I}' \!\!\!\cdot \vec{\omega}'] .$$ (943)

In Gl. (9.41) wird die Bewegung zuerst im körperfesten System berechnet und dann durch die Transformation mittels $a_{ij}$ zum Moment im raumfesten System in Beziehung gesetzt. Gl. (9.42) ist vollständig im körperfesten System gerechnet. Gl. (9.43) ist dieselbe in symbolischer Form. Nun wird das körperfeste Koordinatensystem so gewählt, daß der Trägheitstensor Diagonalform, Gl. (9.27), annimmt (über unterstrichene doppelte Indices nicht summieren !)

$$I'_{lk} = I'_{\underline{k}} \delta_{\underline{k}l},$$

$$M'_{l} = I'_{\underline{l}} \dot{\omega}_{\underline{l}}' + \ \varepsilon_{lrk} I'_{\underline{k}} \omega'_{\underline{k}} \omega'_{r} ;$$

Dies sind die Eulerschen Gleichungen für die Bewegung eines starren Körpers. Die in $\omega'_i$ nichtlinearen Terme entsprechen dem Moment der Zentrifugalkraft.

Bewegung um eine feste Achse

Wir betrachten Gl. (9.43) für den Fall, daß der Körper auf einer fest gelagerten Achse steckt. Diese sei die 3'-Achse. Dann ergibt sich unter Beachtung von $L_i' = I'_{ik} \omega'_k$

$$\omega'_{1} = \dot{\omega}_{1}' = \omega'_{2} = \dot{\omega}_{2}' = 0,$$

$$L'_{i} = I'_{i3}\omega'_{3}.$$

Die Bewegunggleichung im körperfesten System (9.42) gibt dann:

$$\begin{array}{ccccc} I'_{13}\dot{\omega}_{3}' & - & I'_{23}\... ..., [1mm] I'_{33}\dot{\omega}_{3}' &&& = & M'_{3}. \end{array}$$

Die letzte Gleichung kann sofort integriert werden, da das Moment $M'_{3}$ von der Antriebskraft herrührt und daher im Prinzip eine gegebene Funktion der Zeit ist. Die so erhaltene Lösung $\omega'_{3}(t)$ wird in die linken Seiten der beiden vorhergehenden Gleichungen eingesetzt. Dies gibt Momente $M'_{1},M'_{2}$, die die $3'$-Achse abzudrehen suchen und von den Lagern aufgefangen werden müssen. Diese Momente werden von den Deviationsmomenten des Trägheitstensors verursacht. Daher deren Name. Sie resultieren aus einer unsymmetrischen Montierung des Körpers.
Abb. 9.11(a) gibt ein Beispiel: Eine Stange rotiert um die $3'$-Achse. Sie steht nicht vollkommen senkrecht zu dieser, daher suchen die Zentrifugalkräfte die Stange in die senkrechte Stellung zu ziehen und erzeugen ein Moment um die $2'$-Achse. Ist die Rotation um die $3'$-Achse nicht gleichförmig, entsteht auch noch ein Moment um die $1'$-Achse.

Abbildung 9.11: a) Deviation eines unsymmetrisch gelagerten Stabes. b) Physikalisches Pendel

[]

[]

Sind die Deviationsmomente $I'_{13} = I'_{23} = 0$, dann $M'_{1} = M'_{2} = 0$. Der Körper kann um eine solche Achse rotieren, ohne festgehalten werden zu müssen. Eine solche Achse heißt eine freie Achse des Körpers. In diesem Fall ist der Drehimpuls der Achse parallel gerichtet.

$$\vec{L} = \left( \begin{array}{ccc} I'_{11} & I'_{12} & 0 \\ I'_... ...ay} \right) = I'_{33} \omega'_{3} \vec{e}_{3}{\!\!'} = L' \vec{e}_{3}{\!\!'} .$$

Wir haben dann:

$$\begin{array}{lcccccccc} I'_{33} &=& I' = I, & & M'_{3} &=& ... ...omega}' & = & \dot{L} & = & I \dot{\omega} & = & M. \end{array}$$

Für die letzte Gleichung hat man wieder die Analogie von $\dot{p} = m \dot{v} = F$. Daß Gln. (9.45) auch im raumfesten System gelten, sieht man durch Transformation ins raumfeste System. Dabei ergibt sich auch noch, daß $I_{33}$ nicht von der Zeit abhängt.

$$\omega'_{i} = \omega \delta_{i3},$$

$$(a_{ik}) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right),$$

$$I_{33} = a_{i3}I'_{ik}a_{k3} = I'_{33} ;$$

$$\begin{array}{lcccccl} a_{li}L'_{i} = L_{l} & = & a_{li}I'_{ik}\o... ...mega & = & I'_{33}\delta_{l3}\omega & = & I_{33}\delta_{l3}\omega . \end{array}$$

Das physikalische Pendel

Ein physikalisches Pendel ist ein starrer Körper, der um eine waagrechte Achse ($3'$-Achse) drehbar gelagert ist und sich unter dem Einfluß der Schwerkraft bewegt, Abb. 9.11(b). Das Trägheitsmoment ist:

$$I'_{33} = I' = I_{33} = I =$$

$$\sum_{\mu} m_{\mu} (\vec{r}_{\mu}{\!\!'}^{2} - z'^{2}_{\mu}) = \ \sum_{\mu} m_{\mu} \varrho'^{2}_{\mu}.$$

$\varrho'_{\mu}$ ist der Abstand der Masse $m_{\mu}$ von der $3'$-Achse. Für das Moment der Schwerkraft ergibt sich

$$\vec{M} = \sum_{\mu} \left[\vec{r}_{\mu}, \vec{F}_{\mu} \right] = \sum_{\mu} \left[\vec{r}_{\mu}, gm_{\mu}\vec{e}_{1}\right] = g \left[ \sum_{\mu} m_{\mu} \vec{r}_{\mu}, \vec{e}_{1} \right]$$

$$= gM [\vec{r}_{s}, e_{1} ] = - Mgs \sin\varphi \vec{e}_{3} .$$

Die Bewegungsgleichung ist also gemäss Gl. (9.45)

$$I \dot{\omega} = I \ddot{\varphi} = - Mgs \sin\varphi, \quad \ddot{\varphi} + \frac{Ms}{I} g \sin\varphi = 0.$$

Vergleich mit der Schwingungsgleichung für das mathematische Pendel, Gl. (3.14),

$$\ddot{\varphi} + \frac{g}{\ell_{r}}\sin\varphi = 0,$$

ergibt, daß ein mathematisches Pendel der Länge

$$\ell_{r} = \frac{I}{Ms}$$

($\ell_{r}$ = reduzierte Pendellänge) gleiche Schwingungsdauer hat wie das physikalische Pendel. Z.B. ist die Schwingungsdauer für einen Stab (Abb. 9.9, Gl. (9.34)) für kleine Schwingungen

$$T_{\mbox{\tiny Stab}} = 2 \pi\left(\frac{2\ell}{3g}\right)^{\frac{1}{2}}\quad < \quad T_{\mbox{\tiny math.P.}} = 2 \pi\left(\frac{\ell}{g}\right)^{\frac{1}{2}}$$

$$= 0.82 2\pi \left(\frac{\ell}{g}\right)^{\frac{1}{2}}$$

kürzer als die, Gl. (3.16), des mathematischen Pendels gleicher Länge.

Kreiseltheorie

Ein Kreisel ist ein starrer Körper, der in einem Punkt, dem Stützpunkt, festgehalten ist und sich um diesen frei bewegen kann. Allgemeiner ist ein Kreisel ein Körper, dessen Bewegung um einen Punkt (z.B. Schwerpunkt) von der Bewegung dieses Punktes separiert werden kann. Der Kreisel hat daher 3 Freiheitsgrade, wenn seine Bewegung nicht durch weitere Nebenbedingungen eingeschränkt ist. Das dynamische Verhalten des Kreisels ist durch den zum Stützpunkt gehörigen Trägheitstensor bestimmt. Die kinetische Energie ist gleich der Rotationsenergie, Gl. (9.48).
Sind alle Hauptträgheitsmomente verschieden, heißt der Kreisel unsymmetrisch; sind genau zwei gleich, heißt er symmetrisch; sind alle drei gleich, dann spricht man von einem Kugelkreisel.
In der Beschreibung der Kreiselbewegung spielen der Drehimpulsvektor $\vec{L}$ und der Winkelgeschwindigkeitsvektor $\vec{\omega}$ eine wichtige Rolle. Die durch $\vec{L}$ bestimmte Gerade heißt Drehimpulsachse; die durch $\vec{\omega}$ gehende heißt momentane Drehachse.
Die zeitliche Änderung der Rotationsenergie (9.36) ist:

$$\frac{dT_{rot}}{dt} = I_{ik}\omega_{i}\dot{\omega}_{k} = I'_{ik}\omega'_{i} \dot{\omega}_{k}'.$$ (946)

Dabei wurde benützt, daß $I_{ik} = I_{ki}$ ist, daß $\dot{I}_{ik}' = 0$ und daß

$$\begin{array}{lcl} \omega_{i}\dot{I}_{is}\omega_{s} &=& \ome... ...omega_{l}\varepsilon_{lmn}\omega_{m}a_{ns}\; =\; 0. \end{array}$$

In der letzten Gleichung wurde die Transformationsformel für einen Tensor zweiter Stufe verwendet und $\dot{a}_{ik}$ gemäß Gl. (8.29a) eliminiert. Den gleichen Ausdruck wie auf der rechten Seite von (9.46) erhält man, indem man Gl. (9.37) bzw. Gl. (9.43) mit $\omega_{i}$ bzw. $\omega'_{i}$ überschiebt; damit ergibt sich

$$\frac{dT_{rot}}{dt} = M_{i}\omega_{i} = M'_{i}\omega'_{i}.$$ (947)

Der freie Kreisel. Poinsotsche Darstellung der Bewegung

Ein Kreisel heißt frei, wenn keine Kräfte auf ihn wirken. Im Schwerefeld kann man einen solchen näherungsweise realisieren durch eine kardanische Aufhängung oder durch eine solche Formgebung, daß der Schwerpunkt in der Spitze liegt, in der der Kreisel gestützt ist, Abb. 9.12. Die Gesamtenergie ist gleich der Rotationsenergie, Gl. (9.35), und ist eine Erhaltungsgröße

$$T = T_{rot} = \frac{1}{2} I_{ik}\omega_{i}\omega_{k} = E =$$ (948)

Dies folgt aus (9.47) oder aus dem entsprechenden Erhaltungssatz für Vielteilchensysteme in Kap. 7; ebenso wie die Konstanz des Gesamtdrehimpulses $\vec{L}$ mit Benutzung von Gl. (9.37)

$$L_{i} = I_{ik}\omega_{k} =$$ (949)

Die Komponenten des Vektors der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{i}$ bzw. $\omega'_{i}$ sind im allgemeinen nicht konstant. Das Zeitverhalten der körperfesten Komponenten $\omega'_{i}$ kann aus den Eulerschen Gleichungen (9.44) mit $M'_{i} = 0$ berechnet werden. Diese lassen sich unter Zuhilfenahme der Erhaltungssätze für Energie und Drehimpuls exakt lösen; doch die Lösungen enthalten elliptische Integrale und sind so kompliziert, daß man kaum Einblick in die Natur der Bewegung erhalten kann. Diesen gewährt aber ein geometrisches Konstruktionsverfahren von Poinsot.
Man betrachtet einen Euklidischen Raum mit den kartesischen Koordinaten $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$. Aus Gl. (9.48) folgt, daß in diesem Raum die zu einer bestimmten Bewegung (zu einer bestimmten Energie $E$) gehörige Menge der Werte $\omega_{i}$ auf einem Ellipsoid mit der Gl. (9.48) liegen, das zum Trägheitsellipsoid (9.28) ähnlich und koaxial ist. Aus

$$_{\omega}E\; \hat{=} \; \partial E/\partial \omega_{s}\; =\; I_{sk} \omega_{k}\; =\; L_{s}\; = \;$$ (950)

folgt, daß der Drehimpulsvektor in jedem Augenblick parallel zur Flächennormalen $\partial E/\partial \omega_{i}$, also senkrecht zur Tangentialebene $\Sigma$ steht. Deswegen gilt die Poinsotsche Konstruktion (Abb. 9.13):
Man erhält die Richtung von $\vec{L}$ zu einem vorgegebenen $\vec{\omega}$, indem man an den durch $\vec{\omega}$ bezeichneten Punkt des Poinsotschen Ellipsoids die Tangentialebene $\Sigma$ legt und ihre Normalenrichtung einzeichnet. Wegen der Erhaltung des Drehimpulses ist die Stellung von $\Sigma$ im Raum zeitlich konstant. Daher heißt sie invariable Ebene. Ihr Abstand vom raumfesten Bezugspunkt 0 ist konstant, da alle während der Bewegung möglichen $\vec{\omega}$ die gleiche Projektion auf die Normalenrichtung haben gemäß den aus Gln. (9.48) und (9.49) folgenden Gleichungen:

$$2 E = 2 T_{rot} = I_{ik}\omega_{i}\omega_{k} = \omega_{i}L_{i} ,$$

$$(\vec{\omega}, \frac{\vec{L}}{L}) = \frac{2E}{L} =$$ (951)

1cm

Abbildung: Lagerung eines kräftefreien Kreisels im Schwerpunkt $S$

Abbildung 9.13: Poinsotsche Konstruktion

Abbildung 9.14: Polbahnen auf dem Poinsotschen Ellipsoid

Im Laufe der Bewegung des Körpers rollt das Poinsotsche Ellipsoid, das fest mit dem Körper verbunden ist, gleitungsfrei auf der invariablen Ebene ab (s. K9RollPoinsot.mov). Der Vektor vom zeitlich unveränderlichen Zentrum 0 der Ellipse zum Berührungspunkt $P$ gibt immer die momentane Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ an. Die Kurve, die von der Folge von Berührungspunkten auf dem Ellipsoid erzeugt wird, heißt Polbahn (oder Polhodie). Sie ist eine geschlossene Kurve, s. Abb. 9.14. Der Kegel, der von allen von 0 ausgehenden und durch die Polbahn gehenden Strahlen erzeugt wird, heißt Polkegel. Die Bahn des Berührungspunktes $P$ auf der invariablen Ebene heißt Spurbahn (Herpolhodie) und ist im allgemeinen nicht geschlossen. Sie bestimmt zusammen mit 0 den Spurkegel. Die Bewegung des Kreisels besteht also in diesem geometrischen Bild in einem Abrollen des körperfesten Polkegels auf dem raumfesten Spurkegel, da sich beide Kegel längs der momentanen Drehachse berühren.
Dreht sich der Kreisel um eine seiner Hauptträgheitsachsen, dann haben $\vec{L}$ und $\vec{\omega}$ gleiche Richtung, die Pol- und Spurbahn entarten in einen Punkt auf einem der drei Scheitel des Ellipsoides. Auch $\vec{\omega}$ ist dann raumfest. Der Körper dreht sich um eine freie Achse. Doch sind die drei Hauptträgheitsachsen nicht gleichwertig. Die Drehung um die Achsen mit dem größten und dem kleinsten Hauptträgheitsmoment ist stabil, die um die Achse mit dem mittelgroßen Hauptträgheitsmoment ist instabil. Darunter versteht man, daß eine Drehung, die anfänglich wenig von einer um eine stabile Achse abweicht, für alle Zeiten sich nur wenig von der stabilen unterscheidet; während eine anfängliche Drehung um eine instabile Achse ihren Charakter sehr stark ändert.
Dies ersieht man aus der Poinsotschen Darstellung: Eine Drehung, die sich nur wenig von einer um die Achse mit größtem (kleinstem) Hauptträgheitsmoment unterscheidet, hat eine Polkurve in der Nähe des Scheitels der längsten (kleinsten) Hauptachse, s. Abb. 9.14. Die gemäß Gl. (9.49) zeitlich konstante Projektion von $\vec{\omega}$ auf die Drehimpulsachse ist größer (kleiner) als die mittlere Halbachse und die Polkurve kann sich dem mittleren Scheitel nicht nähern. Bei einer Drehung in der Nähe des mittleren Scheitels ist eine solche Beschränkung nicht gegeben.
Dieses Resultat kann man auch näherungweise aus den Eulerschen Gleichungen ableiten. Die betrachtete freie Achse sei die $3'$-Achse. Die Näherungsannahme, daß die anfängliche Bewegung in deren Nähe erfolge, bedeutet, daß

$$\omega'_{1} « \omega'_{3}, \quad \omega'_{2} « \omega'_{3} ; \quad \dot{\omega}_{3} \approx 0,$$

also $\omega'_{1}, \omega'_{2}$ sehr klein sind. Dann ist die dritte Eulersche Gleichung vernachlässigbar klein; die beiden ersten werden in zwei äquivalente Differentialgleichungen zweiter Ordnung umgewandelt, indem jeweils die eine nach der Zeit differenziert und in die zweite eingesetzt wird. Dies gibt

$$\ddot{\omega'}_{i} + \Omega^{2} \omega'_{i} = 0, \qquad i = 1,2 ;$$

mit

$$\Omega^{2} = \omega'^{2}_{3} (I'_{2} - I'_{3})(I'_{1} - I'_{3})/(I'_{1}I'_{2}).$$

Ist $I'_{3}$, das Hauptträgheitsmoment um die betrachtete freie Achse, das kleinste oder das größte, dann ist $\Omega^{2} > 0$; obige Differentialgleichungen sind Schwingungsgleichungen; eine Lösung kleiner Amplitude bleibt klein. Liegt dagegen $I'_{3}$ zwischen $I'_{1}$ und $I'_{2}$, dann ist $\Omega^{2} < 0$. Die Lösungen obiger Differentialgleichungen enthalten Exponentialfunktion $exp(\vert\Omega\vert t)$, sodaß die $\omega'_{i}$ im Laufe der Zeit größer werden können. Natürlich sind dann obige Näherungsannahmen nicht mehr erfüllt, sodaß die Lösungen nur in der Nähe von $\omega_{1,2} \approx 0$ gültig sind.

Der freie symmetrische Kreisel

Die Bewegung ist wesentlich einfacher, wenn der Kreisel symmetrisch ist. Das Trägheitsellipsoid eines symmetrischen Kreisels ist ein Rotationsellipsoid. Die der Symmetrieachse des Rotationsellipsoids (und auch des Körpers) entsprechende Achse heißt Figurenachse. Sie wird zur $3'$-Achse des körperfesten Systems gewählt. Wir bezeichnen die körperfesten Hauptträgheitsmomente

$$I'_{1} = I'_{2} = A, \quad I'_{3} = C ;$$ (952)

$C > A$ .... abgeplatteter Kreisel (E.: oblate top) (z.B. Scheibe senkrecht zu $3'$)
$C < A$ .... verlängerter Kreisel (E.: prolate top) (zigarrenförmig um $3'$)

Die Poinsotsche Darstellung wird in diesem Fall noch wesentlich einfacher. Da die Polbahn auf dem Poinsotschen Ellipsoid von den Punkten gebildet wird, die von 0 konstante Entfernung haben, ist sie hier ein Kreis; der Polkegel ist ein Kreiskegel mit der Figurenachse als Achse. Daher ist die Winkelgeschwindigkeit $OP = \omega$ konstant. Ebenso besteht die Spurkurve aus allen Punkten der invariablen Ebene, deren Entfernung von 0 konstant ist, und ist daher gleichfalls ein Kreis. Der Spurkegel ist ein Kreiskegel mit der Drehimpulsachse als Achse. Da der Polkegel auf dem Spurkegel abrollt, gilt also: Die Figurenachse $\vec{F}$ und die momentane Drehachse $\vec{\omega}$ beschreiben je einen Kreiskegel, und zwar mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Die Bewegung der Figurenachse heißt ${\bf Nutation}$ (manchmal auch reguläre Präzession). Wegen der achsialen Symmetrie des Kreisels liegen die drei Achsen immer in einer Ebene. Für die Reihenfolge der drei Achsen gibt es zwei Möglichkeiten; diese sind in Abb. 9.15 und Abb. 9.16 gezeigt.

1cm

Abbildung 9.15: $C > A$ abgeplatteter Kreisel

Abbildung: $C < A$ verlängerter Kreisel

Für den symmetrischen Kreisel lassen sich die Eulerschen Gleichungen (9.44) sehr einfach lösen. Mit den in Gl. (9.52) eingeführten Bezeichnungen werden die Eulerschen Gleichungen

$$A \dot{\omega}_{1}' = \;\;\; (A-C) \omega'_{2} \omega'_{3} ,$$

$$A \dot{\omega}_{2}' = -(A-C) \omega'_{1} \omega'_{3} ,$$ (953)

$$C \dot{\omega}_{3}' = \;\;\;0 .$$

Aus der letzten Gleichung folgt die Konstanz von $\omega'_{3}$. Danach sind die ersten zwei Gleichungen leicht zu lösen. Aus Gl. (9.14) erhält man die Drehimpulskomponenten

$$\begin{array}{lclclclcl} \omega'_{1} & = & - \omega_{0} \s... ..._{3} & = & C \omega'_{3} & = & \mbox{const.} \end{array}$$ (954)

$\omega_{0} =$   const., daher auch $\vert \vec{\omega} \vert =$   const. Die Projektionen von $\vec{\omega}$ und $\vec{L}$ auf die $3'$-Achse sind konstant. Beide Vektoren präzessieren mit der Frequenz

$$\Omega = \omega'_{3}(C - A)/A =$$ (955)

auf Kegeln um die $3'$-Achse. Die halben Öffnungswinkel dieser Kegel sind konstant und haben die Werte (s. Abb. 9.17):

$$\vartheta'' = \arctan (\omega'_{3}/\omega_{0}), \qquad \vartheta_{0} = \arctan (C \omega'_{3}/A \omega_{0}).$$ (956)

Die Bewegung des Kreisels ist vollständig erfaßt, wenn man noch das zeitliche Verhalten der Eulerschen Winkel (s. §8.3) angibt, die die augenblickliche Lage des körperfesten Systems im Raum festlegen. Das raumfeste System wird so orientiert, daß die 3-Achse mit dem Drehimpulsvektor zusammenfällt. Der Winkel $\vartheta$ zwischen letzterem und der Figurenachse ist gemäß Gl. (9.54) konstant und hat den in Gl. (9.56) angegebenen Wert $\vartheta_{0}$. Es werden die Ausdrücke aus Gl. (8.31) in den Ausdruck für die kinetische Energie im Hauptachsensystem eingesetzt

$$2 E = 2 T_{rot} = A(\omega_{1}'^{2} + \omega_{2}'^{2}) + C \omega_{3}'^{2} = A \dot{\varphi}^{2} \sin^{2}\vartheta + C \omega_{3}^{'2} =$$ (957)

Wegen $\vartheta =$const. und $\omega'_{3} =$const. ist auch $\dot{\varphi} =$const.; damit ist wegen, s. (8.31),

$$\omega'_{3} = \dot{\varphi} \cos\vartheta + \dot{\psi} =$$ (958)

auch $\dot{\psi} =$const. Vergleich der Ausdrücke für $\omega'_{1}$ und $\omega'_{2}$ in Gl. (8.31) mit den entsprechenden Lösungen (9.54) gibt für $\varphi$ und $\psi$

$$\psi = - \Omega t\; +\;$$

$$\dot{\varphi} = \frac{\omega_{0}}{\sin \vartheta_{0}} = \frac{C \omega'_{3}}{A \cos \vartheta_{0}} = , \quad \varphi = \frac{\omega_{0}}{\sin \vartheta_{0}} t +$$ (959)

Damit und mit Gl. (8.31) sind die Komponenten von $\vec{\omega}$ im raumfesten System gegeben:

$$\omega_{i} = (- \Omega \sin\vartheta_{0} \sin\varphi, \Omega \sin\vartheta_{0} \cos\varphi, \dot{\varphi} - \Omega \cos\vartheta_{0}).$$

$\vec{\omega}$ und $\vec{L}$ schließen den Winkel $\vartheta'$ ein

$$\sin\vartheta' = \frac{\Omega \sin\vartheta_{0}}{\omega} = \frac{\Omega}{\dot{\var... ...}}_{1} \frac{\omega_{0}}{\omega} = \frac{\Omega}{\dot{\varphi}} \sin\vartheta''$$ (960)

$$= \frac{\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}}{\omega}.$$

Dabei wurden Gln. (9.59) und (9.56) herangezogen. Die Stellung der Figurenachse ist durch die der $3'$-Achse im Raum gegeben (Gl. (8.16d)):

$$\vec{e}_{3}{\!\!'} = (\sin\vartheta_{0} \sin\varphi, - \sin\vartheta_{0} \cos\varphi, \cos\vartheta_{0}).$$

Aus diesen Gleichungen folgt: Der Kreisel rotiert mit der Frequenz $\Omega = \vert \dot{\psi} \vert$ um seine Symmetrieachse (Figurenachse); letztere präzessiert mit Frequenz $\dot{\varphi}$ auf einem Kegel mit halbem Öffnungswinkel $\vartheta_{0}$ um die Drehimpuls-(3-Achse) (Nutation). $\vec{\omega}$ liegt mit $\vec{L}$ und der Figurenachse in einer Ebene und präzessiert mit Frequenz $\dot{\varphi}$ auf dem Spurkegel mit halbem Öffnungswinkel $\vartheta'$ (Abb. 9.17).

1cm

Abbildung 9.17: Der freie symmetrische Kreisel

Abbildung 9.18: Der schwere symmetrische Kreisel

Wenn man in erster Näherung das Drehmoment, das Sonne und Mond auf den äquatorialen Wulst der Erde ausüben, vernachlässigt, kann die Erde als ein freier symmetrischer Kreisel behandelt werden. Aufgrund der Abplattung der Erde ist

$$(A - C)/A = - 0.0033, \qquad \vert \Omega \vert = \vert \omega'_{3} \vert/300 \approx \vert \omega \vert /300.$$

Danach sollte die momentane Drehachse im Lauf von 300 Tagen (= 10 Monaten) einen Kreis um den Nordpol beschreiben. Es wurde eine stark fluktuierende Bewegung mit einem Radius von nicht mehr als 4,5 m und einer Periode von 427 Tagen beobachtet (Chandlersche Periode). Daraus und aus Gl. (9.60) kann man berechnen, daß Drehimpuls- und Figurenachse an den Polen einen Abstand von maximal 1,5 cm haben, $\vartheta' \approx \frac{\Omega}{\omega} \vartheta_{0} - \frac{\Omega}{\omega} \frac{4,5 m}{R},\quad R \vartheta' = \frac{1}{300} \cdot 4,5$   m$\approx 1,5$ cm. Der Unterschied in der Periode kann erklärt werden, wenn man annimmt, daß die Erdkugel nicht ideal starr ist, sondern elastische Eigenschaften wie Stahl hat.

Der schwere symmetrische Kreisel

Dieser Kreisel ist nicht im Schwerpunkt gelagert. Die Gesamtmasse $M$, die man sich im Schwerpunkt $S$ konzentriert denken kann, erzeugt ein Moment um die Knotenachse (s. Abb. 9.18):

$$\vec{M}\; =\; \vec{r}_{s} \times \vec{F} = - Mg \vec{r}_{s} \times \vec{e}_{3}\; =\; Mgs \sin\vartheta (\vec{e}_{1}\cos\varphi + \vec{e}_{2}\sin\varphi),$$

$$= Mgs \sin\vartheta \vec{e}_{k}.$$

Da $\vartheta$ der Winkel um die Knotenachse ist, kann man für dieses Moment das folgende Potential einführen

$$\vec{M} = - \vec{e}_{k}\frac{\partial V}{\partial \vartheta},\qquad V = Mgs \cos\vartheta.$$ (961)

Die kinetische Energie (= Rotationsenergie) berechnet man in den Eulerschen Winkeln aus Gln. (9.57) und (8.31). Zusammen mit Gl. (9.61) gibt das die Lagrangefunktion (vgl. §11.5):

$$\cal L = \frac{A}{2} (\omega'^{2}_{1} + \omega'^{2}_{2}) + \frac{C}{2} \omega'^{2}_{3} - V,$$ (962)

$$= \frac{A}{2} (\dot{\vartheta}^{2} + \dot{\varphi}^{2} \sin^{2}\var... ...frac{C}{2} (\dot{\psi} + \dot{\varphi}\cos \vartheta)^{2} - Mgs \cos\vartheta .$$

In ihr sind $\varphi$ und $\psi$ zyklische Koordinaten; daher sind die kanonisch konjugierten Impulse zeitlich konstant (vgl. §12.4), $p_{\psi}$ ist die Projektion von $\vec{L}$ auf die $3'$-Achse, $p_{\varphi}$ die auf die 3-Achse.

$$p_{\psi} = \frac{\partial\cal L}{\partial \dot{\psi}} = C (\dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos\vartheta) = C \omega'_{3} = L'_{3} =$$ (963)

$$p_{\varphi} = \frac{\partial\cal L}{\partial \dot{\varphi}} = (A \sin^{2}\vartheta + C \cos^{2}\vartheta)\dot{\varphi} + C\dot{\psi} \cos\vartheta =$$ (964)

$$= a_{3k}L'_{k} = A(a_{31} \omega'_{1} + a_{32} \omega'_{2}) + C a_{33} \omega'_{3} = L_{3} .$$

(Letzteres erkennt man aus Gln. (8.13) und (8.31). Diese beiden Impulse sind erhalten, da die Knotenlinie, also auch das obige Moment des Schwerpunktes, auf diesen beiden Achsen senkrecht steht. Obige Gleichungen werden nach $\dot{\varphi}$ und $\dot{\psi}$ aufgelöst und geben:

$$\dot{\varphi} = \frac{L_{3} - L'_{3}\cos\vartheta}{A \sin^{2}\vartheta} , \qquad \dot{\psi} = \frac{L'_{3}}{C} - \frac{L_{3}-L'_{3} \cos\vartheta} {A \sin^{2}\vartheta} \cos\vartheta .$$ (965)

$\dot{\varphi}$ und $\dot{\psi}$ sind bekannt, sobald $\vartheta$ als Funktion der Zeit bekannt ist. Letzteres Verhalten kann aus dem Energiesatz abgeleitet werden. In diesem wird berücksichtigt, daß gemäß Gl. (9.63) $\omega'_{3}$ konstant ist; $\dot{\varphi}$ wird darin mittels Gl. (9.65) eliminiert

$$E - \frac{C}{2} \omega'^{2}_{3} = T - \frac{L'^{2}_{3}}{2C} + V ,$$

$$= \frac{A}{2} \dot\vartheta^{2} + \frac{A}{2} \left( \frac{L_{3}-L'... ...\cos\vartheta}{A \sin\vartheta} \right)^{2} + Mgs \cos\vartheta = \mbox{const.}$$ (966)

Die Substitution $u = \cos\vartheta$ und Auflösen nach $u$ geben eine Differentialgleichung für $u$ bzw. $\cos\vartheta$, die durch Separation gelöst werden kann.

$$u := \cos\vartheta, \qquad \dot{\vartheta}^{2} = \frac{\dot{u}^{2}}{(1-u^{2})},$$

$$\dot{u}/\omega'_{3} = du/d(\omega'_{3}t) = \pm (C/A) \sqrt{P(u)},$$

$$P(u) = (1-u^{2}) \left[ \frac{2EA}{L^{'2}_{3}} - \frac{A}{C} - \frac{2MgsA}{L_{3}^{'2}} u \right] - \left( \frac{L'_{3}}{L_{3}} - u \right)^{2}.$$ (967)

Da $P(u)$ ein Polynom dritten Grades ist, ist das Integral in u elliptisch. Man kann aber einen qualitativen Überblick über die Bewegungstypen erhalten, indem man das Realitätsverhalten der Wurzel diskutiert, ähnlich wie beim sphärischen Pendel in §6.3.1. Die Eulerschen Winkel $\vartheta$ und $\varphi$ geben die augenblickliche Lage des Punktes auf der Einheitskugel um 0 an, in dem die Figurenachse diese durchstößt; dieser heißt der Locus der Figurenachse. Wieder sind für die Bewegung nur die Teilintervalle $\vert u \vert \leq 1$ zulässig, in denen $P(u) \geq 0$ ist. Wegen

$$P(\pm \infty) = \pm \infty$$

$$P(\pm 1) = - (L_{3}/L'_{3} \pm 1)^{2} < 0 \quad P(\pm 1) \neq 0, \quad \vert L_{3}/L'_{3} \vert \neq 1$$

ist eine Wurzel, $u_{3} > 1$. Es können daher nur die beiden anderen, $u_{1} = \cos\vartheta_{1}$ und $u_{2} = \cos\vartheta_{2}$ den physikalischen Bereich begrenzen (Abb. 9.20(a)). $\vartheta$ ist auf die Kugelzone zwischen $\vartheta_{1}$ und $\vartheta_{2}$ beschränkt, die Figurenachse präzessiert um die Vertikale. Diese Beschränkung der Bewegung ist auch aus Gl. (9.66) abzulesen. Für $\vert L/L'_{3}\vert \neq 1$ würde der Term $(\sin\vartheta)^{-2}$ an $\vartheta = 0\;(\pi)$ unendlich werden. Aus Gl. (9.65a) ersieht man, daß die Bewegung durch die Lage der Nullstelle $u'$ von

$$L_{3} - L'_{3}u' = 0: \qquad \cos\vartheta' = u' = L_{3}/L'_{3}$$

bestimmt wird. Liegt $u'$ außerhalb $[u_{1},u_{2}]$, dann wächst (oder fällt) $\dot{\varphi}$ monoton (Abb. 9.19(a)); ist $u_{1}<u'<u_{2}$, dann ändert $\dot{\varphi}$ sein Vorzeichen, die Locuskurve hat Schleifen (Abb. 9.19(b)). Fällt $u$ mit einer der Wurzeln $u_{1}$, $u_{2}$ zusammen, dann sind dort $\dot{\vartheta} = \dot{\varphi} = 0$, die Locuskurve hat Spitzen. Dies entspricht dem folgenden Fall: Zur Zeit $t=0$ wird die Figurenachse mit einer Anfangslage $\vartheta_{0}$ ausgelassen; Anfangsbedingungen sind dann: $\vartheta = \vartheta_{0}$, $\dot{\vartheta} = \dot{\varphi} = 0$. Es ist $\vartheta = \vartheta_{2}$, und entspricht dem oberen Begrenzungskreis, denn sobald $\dot{\vartheta}$ und $\dot{\varphi}$ von Null weggehen, nimmt die (positive) kinetische Energie zu, die potentielle muß abnehmen, also muß $\vartheta$ von $\vartheta_{2}$ gegen $\pi$ gehen; die Kreiselachse kippt, bis der Grenzwinkel $\vartheta_{1}$ erreicht ist, dann strebt sie wieder gegen $\vartheta_{2}$ (Abb. 9.19(c)).

Abbildung: Locuskurve für die Bewegung des schweren symmetrischen Kreisels

Abbildung: Links: a) Bewegung mit Nutationen wie in Abb. 9.19. Rechts: b) Reguläre Präcession, keine Nutationen.

Falls $L_{3} = L'_{3}\;(- L'_{3})$ ist, kann der obere (untere) Grenzkreis auf den Nordpol (Südpol) zusammenschrumpfen. Wenn die beiden Grenzkreise zusammenfallen, $u_{1} = u_{2}$, treten keine Nutationen auf, der Kreisel führt eine reguläre Präzession aus. $P(u) = 0$ muß dann eine Doppelwurzel haben (Abb. 9.20(b)). Diese findet man leichter, indem man Gl. (9.66) nach $t$ differenziert und $\dot{\vartheta} = \ddot{\vartheta} = 0$, $u_{0} = \cos\vartheta_{0}$ verlangt. Dies gibt

$$\dot{\vartheta} \bigg[\ddot{\vartheta} - \frac{\cos\vartheta_0}... ...3 - L'_3 \cos\vartheta_0\big) - \frac{Mgs}{A} \sin\vartheta_0 \bigg] = 0.$$

$$\Rightarrow A \dot{\varphi}^2 \cos\vartheta_0 - \dot{\varph... ...t{\varphi} \big( C \dot{\psi} - (A - C) \dot{\varphi} \cos\vartheta_0 \big) .$$ (968)

Zur Berechnung der 2. und 3. Gleichung wurde Gl. (9.63) benützt. Aus Gln. (9.68) folgt, daß $\dot{\varphi}$ und $\dot{\psi}$ konstant sind. Sie müssen zusammen mit $\vartheta_{0}$ die obigen Bedingungen erfüllen.
Eine Näherungslösung mit elementaren Funktionen kann erhalten werden, falls die kinetische Energie der Rotation des Kreisels um die Figurenachse groß ist im Vergleich zur Änderung der potentiellen Energie,

$$\frac{1}{2} \frac{L'^{2}_{3}} {C} = \frac{1}{2} C \omega'^{2}_{3} \gg 2 Mgs;$$ (969)

dann sind die Wirkungen des Gravitationsmomentes, nämlich die Präzession und die sie begleitende Nutation, nur kleine Störungen der vorherrschenden Rotation des Kreisels um seine Figurenachse (''Schneller Kreisel'', pseudoreguläre Präzession).
Ein interessanter Fall entspricht der Wurzel $u=1$ von $P(u) = 0$. Der Kreisel steht am Anfang vertikal $\vartheta = \dot{\vartheta} = 0$; daraus folgt die Gleichheit der Komponenten $L_{3}$ und $L'_{3}$; weiters folgt aus Gln. (9.66) und (9.67)

$$E = \frac{L^{2}_{3}}{2C} + Mgs$$

$$P(u) = (1-u^{2})(1-u) \frac{2AMgs}{L^{2}_{3}} - (1-u)^{2} \; =\; \ (1-u)^{2} \left[(1+u)\frac{2AMgs}{L^{2}_{3}} - 1 \right]$$

$u=1$ ist immer Doppelwurzel, die dritte Wurzel ist

$$\cos\vartheta_{3}\; =\; u_{3} = \frac{L^{2}_{3}}{2AMgs} - 1\; =\; \frac{\omega^{2}C^{2}}{2AMgs} - 1.$$

Abbildung 9.21: Links: a) Schneller Kreisel ( $\omega > \omega _k$) bleibt aufrecht. Rechts: b) Langsamer Kreisel ( $\omega < \omega _k$) taumelt.

Für $u_{3} > 1$, (d.h. $L^{2}/A > 2 Mgs$, und das entspricht ungefähr der Bedingung, Gl. (9.69), für einen schnellen Kreisel) ist die einzige Möglichkeit $\vartheta = 0$ (Abb. 9.21(a)). Für $u_{3} < 1$ hat die Kurve die in Abb. 9.21(b) gezeigte Gestalt, der Kreisel nutiert zwischen $\vartheta = 0$ und und $\vartheta = \vartheta_{3}$.

Es gibt eine kritische Winkelgeschwindigkeit

$$\omega_{k} = \frac{4AMgs}{C^{2}} ,$$

oberhalb derer nur Rotation um die Vertikale möglich ist. Wenn die Drehachse des Kreisels anfangs vertikal steht und seine Winkelgeschwindigkeit $\omega$ größer als $\omega_{k}$ ist, dann dreht er sich für einige Zeit nur um die Vertikale; durch die Reibung nimmt aber $\omega$ ab und der Kreisel beginnt zu taumeln, sobald $\omega < \omega_{k}$ geworden ist.